\documentclass[aps,pre,amsmath,amsfonts,floatfix]{revtex4}
\usepackage[italian]{babel}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\newcommand{\blankline}{\vskip .3cm}
\newcommand{\beq}{\begin{equation}}
\newcommand{\eeq}{\end{equation}}
\newcommand{\ul}{\underline}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  DEFINIZIONI DI FONT    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\font\tenmib=cmmib10
\font\sevenmib=cmmib10 scaled 800
\font\titolo=cmbx12
\font\titolone=cmbx10 scaled\magstep 2
\font \titolino=cmbx10
\font\cs=cmcsc10
\font\sc=cmcsc10
\font\css=cmcsc8
\font\ss=cmss10
\font\sss=cmss8
\font\crs=cmbx8
\font\ninerm=cmr9
\font\ottorm=cmr8
\textfont5=\tenmib
\scriptfont5=\sevenmib
\font\euftw=eufm9 scaled\magstep1
\font\euftww=eufm7 scaled\magstep1
\font\euftwww=eufm5 scaled\magstep1
\font\msytw=msbm9 scaled\magstep1
\font\msytww=msbm7 scaled\magstep1
\font\msytwww=msbm5 scaled\magstep1
\font\msytwwww=msbm4 scaled\magstep1
\font\indbf=cmbx10 scaled\magstep2
\font\type=cmtt10
\def\st{\scriptstyle}

\font\ottorm=cmr8\font\ottoi=cmmi8\font\ottosy=cmsy8%
\font\ottobf=cmbx8\font\ottott=cmtt8%
\font\ottocss=cmcsc8%
\font\ottosl=cmsl8\font\ottoit=cmti8%
\font\sixrm=cmr6\font\sixbf=cmbx6\font\sixi=cmmi6\font\sixsy=cmsy6%
\font\fiverm=cmr5\font\fivesy=cmsy5
\font\fivei=cmmi5
\font\fivebf=cmbx5%

\def\ottopunti{\def\rm{\fam0\ottorm}%
\textfont0=\ottorm\scriptfont0=\sixrm\scriptscriptfont0=\fiverm%
\textfont1=\ottoi\scriptfont1=\sixi\scriptscriptfont1=\fivei%
\textfont2=\ottosy\scriptfont2=\sixsy\scriptscriptfont2=\fivesy%
\textfont3=\tenex\scriptfont3=\tenex\scriptscriptfont3=\tenex%
\textfont4=\ottocss\scriptfont4=\sc\scriptscriptfont4=\sc%
%\scriptfont4=\ottocss\scriptscriptfont4=\ottocss%
\textfont5=\tenmib\scriptfont5=\sevenmib\scriptscriptfont5=\fivei
\textfont\itfam=\ottoit\def\it{\fam\itfam\ottoit}%
\textfont\slfam=\ottosl\def\sl{\fam\slfam\ottosl}%
\textfont\ttfam=\ottott\def\tt{\fam\ttfam\ottott}%
\textfont\bffam=\ottobf\scriptfont\bffam=\sixbf%
\scriptscriptfont\bffam=\fivebf\def\bf{\fam\bffam\ottobf}%
%\tt\ttglue=.5em plus.25em minus.15em%
\setbox\strutbox=\hbox{\vrule height7pt depth2pt width0pt}%
\normalbaselineskip=9pt\let\sc=\sixrm\normalbaselines\rm}
\let\nota=\ottopunti%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%         SIMBOLI VARI           %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\let\a=\alpha \let\b=\beta  \let\g=\gamma  \let\d=\delta \let\e=\varepsilon
\let\z=\zeta  \let\h=\eta   \let\th=\theta \let\k=\kappa \let\l=\lambda
\let\m=\mu    \let\n=\nu    \let\x=\xi     \let\p=\pi    \let\r=\rho
\let\s=\sigma \let\t=\tau   \let\f=\varphi \let\ph=\varphi\let\c=\chi
\let\ps=\psi  \let\y=\upsilon \let\o=\omega\let\si=\varsigma
\let\G=\Gamma \let\D=\Delta  \let\Th=\Theta\let\L=\Lambda \let\X=\Xi
\let\P=\Pi    \let\Si=\Sigma \let\F=\Phi    \let\Ps=\Psi
\let\O=\Omega \let\Y=\Upsilon

\def\\{\hfill\break} \let\==\equiv
\let\txt=\textstyle\let\dis=\displaystyle

\let\io=\infty \def\Dpr{\V\dpr\,}
\def\aps{{\it a posteriori\ }}\def\ap{{\it a priori\ }}
\let\0=\noindent\def\pagina{{\vfill\eject}}
\def\bra#1{{\langle#1|}}\def\ket#1{{|#1\rangle}}
\def\media#1{{\langle#1\rangle}}
%\def\ie{\hbox{\it i.e.\ }}\def\eg{\hbox{\it e.g.\ }}
\def\ie{{i.e. }}\def\eg{{e.g. }}
\let\dpr=\partial \def\der{{\rm d}} \let\circa=\cong
\def\arccot{{\rm arccot}}

\def\tende#1{\,\vtop{\ialign{##\crcr\rightarrowfill\crcr
 \noalign{\kern-1pt\nointerlineskip} \hskip3.pt${\scriptstyle
 #1}$\hskip3.pt\crcr}}\,}
\def\circage{\lower2pt\hbox{$\,\buildrel > \over {\scriptstyle \sim}\,$}}
\def\otto{\,{\kern-1.truept\leftarrow\kern-5.truept\to\kern-1.truept}\,}
\def\fra#1#2{{#1\over#2}}

\def\PPP{{\cal P}}\def\EE{{\cal E}}\def\MM{{\cal M}} \def\VV{{\cal V}}
\def\CC{{\cal C}}\def\FF{{\cal F}} \def\HHH{{\cal H}}\def\WW{{\cal W}}
\def\TT{{\cal T}}\def\NN{{\cal N}} \def\BBB{{\cal B}}\def\II{{\cal I}}
\def\RR{{\cal R}}\def\LL{{\cal L}} \def\JJ{{\cal J}} \def\OO{{\cal O}}
\def\DD{{\cal D}}\def\AAA{{\cal A}}\def\GG{{\cal G}} \def\SS{{\cal S}}
\def\KK{{\cal K}}\def\UU{{\cal U}} \def\QQ{{\cal Q}} \def\XXX{{\cal X}}

\def\T#1{{#1_{\kern-3pt\lower7pt\hbox{$\widetilde{}$}}\kern3pt}}
\def\VVV#1{{\underline #1}_{\kern-3pt
\lower7pt\hbox{$\widetilde{}$}}\kern3pt\,}
\def\W#1{#1_{\kern-3pt\lower7.5pt\hbox{$\widetilde{}$}}\kern2pt\,}
\def\Re{{\rm Re}\,}\def\Im{{\rm Im}\,}
\def\lis{\overline}\def\tto{\Rightarrow}
\def\etc{{\it etc}} \def\acapo{\hfill\break}
\def\mod{{\rm mod}\,} \def\per{{\rm per}\,} \def\sign{{\rm sign}\,}
\def\indica{\leaders \hbox to 0.5cm{\hss.\hss}\hfill}
\def\guida{\leaders\hbox to 1em{\hss.\hss}\hfill}

\def\hh{{\bf h}} \def\HH{{\bf H}} \def\AA{{\bf A}} \def\qq{{\bf q}}
\def\BB{{\bf B}} \def\XX{{\bf X}} \def\PP{{\bf P}} \def\pp{{\bf p}}
\def\vv{{\bf v}} \def\xx{{\bf x}} \def\yy{{\bf y}} \def\zz{{\bf z}}
\def\aaa{{\bf a}}\def\bbb{{\bf b}}\def\hhh{{\bf h}}\def\III{{\bf I}}

\def\ul{\underline}
\def\olu{{\overline{u}}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%    LETTERE GRECHE E LATINE IN NERETTO     %%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% lettere greche e latine in neretto italico - pag.430 del manuale
\mathchardef\aa   = "050B
\mathchardef\bb   = "050C
\mathchardef\ggg  = "050D
\mathchardef\xxx  = "0518
%\mathchardef\hhh = "0511
\mathchardef\zzzzz= "0510
\mathchardef\oo   = "0521
\mathchardef\lll  = "0515
\mathchardef\mm   = "0516
\mathchardef\Dp   = "0540
\mathchardef\H    = "0548
\mathchardef\FFF  = "0546
\mathchardef\ppp  = "0570
\mathchardef\nn   = "0517
\mathchardef\ff   = "0527
\mathchardef\pps  = "0520
%\mathchardef\XXX = "0504
\mathchardef\FFF  = "0508
\mathchardef\nnnnn= "056E

\def\ol#1{{\overline #1}}

\def\to{\rightarrow}
\def\la{\left\langle}
\def\ra{\right\rangle}

\def\Overline#1{{\bar#1}}
\let\ciao=\bye
\def\qed{\raise1pt\hbox{\vrule height5pt width5pt depth0pt}}
\def\hf#1{{\hat \f_{#1}}}
\def\barf#1{{\tilde \f_{#1}}} \def\tg#1{{\tilde g_{#1}}}
\def\bq{{\bar q}}
%\def\Val{{\bf Val}}
\def\Val{{\rm Val}}
\def\indic{\hbox{\raise-2pt \hbox{\indbf 1}}}

\def\RRR{\hbox{\msytw R}} \def\rrrr{\hbox{\msytww R}}
\def\rrr{\hbox{\msytwww R}} \def\CCC{\hbox{\msytw C}}
\def\cccc{\hbox{\msytww C}} \def\ccc{\hbox{\msytwww C}}
\def\NNN{\hbox{\msytw N}} \def\nnnn{\hbox{\msytww N}}
\def\nnn{\hbox{\msytwww N}} \def\ZZZ{\hbox{\msytw Z}}
\def\zzzz{\hbox{\msytww Z}} \def\zzz{\hbox{\msytwww Z}}
\def\TTT{\hbox{\msytw T}} \def\tttt{\hbox{\msytww T}}
\def\ttt{\hbox{\msytwww T}}
\def\QQQ{\hbox{\msytw Q}} \def\qqqq{\hbox{\msytww Q}}
\def\qqq{\hbox{\msytwww Q}}

\def\vvv{\hbox{\euftw v}}    \def\vvvv{\hbox{\euftww v}}
\def\vvvvv{\hbox{\euftwww v}}\def\www{\hbox{\euftw w}}
\def\wwww{\hbox{\euftww w}}  \def\wwwww{\hbox{\euftwww w}}
\def\vvr{\hbox{\euftw r}}    \def\vvvr{\hbox{\euftww r}}

\def\ul#1{{\underline#1}}
\def\Sqrt#1{{\sqrt{#1}}}
%\def\Sqrt#1{{{#1}^{\fra{1}{2}}}}
\def\V0{{\bf 0}}
\def\defi{\,{\buildrel def\over=}\,}
\def\lhs{{\it l.h.s.}\ }
\def\rhs{{\it r.h.s.}\ }
\def\defin{{\buildrel def\over=}}
\def\V#1{{\underline#1}}
\def\Prob{{\rm Prob}}


\begin{document}

\title{Meccanica statistica del gas rarefatto}

\author{Francesco Zamponi}

\affiliation{INFM e Dipartimento di Fisica, Universit\`a di Roma ``La Sapienza'', 
P.le A. Moro 2, 00185 Roma, Italy} 

\date{\today}

\begin{abstract} 
Si discute in breve la teoria del gas rarefatto attraverso la serie del viriale. 
Si mostra che, per densità 
sufficientemente bassa, le funzioni di distribuzione sono funzioni analitiche 
dei parametri termodinamici e le funzioni di correlazione connesse decadono 
esponenzialmente. Ne segue che a densità basse esiste un solo stato di Gibbs; 
in questa situazione l'equazione di stato è ben approssimata dall'equazione 
di Van der Waals.
\end{abstract} 

\maketitle

\section{Introduzione}

La {\it serie del viriale} \`e una espansione in serie di potenze della densit\`a $\r$
nell'intorno di $\r=0$ dove ogni sistema di particelle classico si comporta come un
gas perfetto. Si ottiene quindi una equazione di stato della forma
\beq
\frac{\b P}{\r} = 1 + \sum_{n=2}^\io B_n(T) \r^{n-1} = 1 + B_2(T) \r + B_3(T) \r^2 + \cdots
\eeq
e i coefficienti $B_n(T)$ sono detti {\it coefficienti del viriale}. Una espansione analoga
si ottiene per tutte le funzioni di correlazione del sistema, come discuteremo nel seguito.

La serie del viriale \`e uno degli esempi pi\`u noti di applicazione di tecniche diagrammatiche
alla meccanica statistica; essa converge per densit\`a sufficientemente basse e temperature
sufficientemente alte permettendo di definire una regione del diagramma di fase
(detta del {\it gas rarefatto}) in cui la pressione \`e una funzione analitica di $\r$ e $T$,
e le funzioni di correlazione decadono esponenzialmente, per cui non ci sono transizioni di
fase e tutte le propriet\`a del sistema possono essere calcolate con la precisione desiderata
troncando la serie del viriale a un certo coefficiente.

Nella regione del diagramma di fase dove il sistema diventa liquido la serie del viriale
sicuramente non converge, per cui un suo troncamento non pu\`o descrivere correttamente
l'equazione di stato e le funzioni di correlazione. Nonostante questo, \`e possibile
risommare certe classi di diagrammi della serie del viriale ottenendo equazioni integrali 
per le funzioni di correlazione (note come equazioni HNC, PY, ecc.) che descrivono in maniera
accurata le propriet\`a del liquido ad alta densit\`a.

Nel seguito:
\begin{enumerate}
\item si introducono le funzioni di correlazione a $n$ punti;
\item si calcola esplicitamente il primo coefficiente del viriale $B_2(T)$;
\item si mostra come sia possibile ottenere una stima del raggio di convergenza della
serie del viriale;
\item si mostra che la convergenza della serie del viriale implica l'esistenza di un unico
stato di Gibbs e il decadimento esponenziale delle funzioni di correlazione.
\end{enumerate}
Queste note sono tratte da J.~P.~Hansen, I.~R.~McDonald, {\it Theory of simple liquids}
e da G.~Gallavotti, {\it Statistical Mechanics: A short treatise}.

\section{Funzioni di distribuzione a n particelle}

\subsubsection{Definizione}

Le funzioni di distribuzione a $n$ particelle possono essere definite per induzione. 
Si considera un sistema di $N$ particelle identiche contenute in un volume V, 
di hamiltoniana 
\beq
H_N(\ul{p},\ul{q})=K_N(\ul{p})+\Phi_N(\ul{q})=\sum_i \frac{p^2}{2m} + \Phi_N(\ul{q})
\eeq
e si definisce in primo luogo la loro espressione microscopica, 
funzione della configurazione $\ul{q}$:
\begin{itemize}
\item La funzione di distribuzione a una 
particella $\rho(r;\ul{q})$, per  $r \in V$, è data da
\beq
\rho(r;\ul{q})=\sum_{i}\delta (r-q_i)
\eeq
e corrisponde quindi al numero di particelle che sono contenute in un volume 
infinitesimo $d^3r$ intorno al punto $r$ diviso il volume $d^3r$. \\
\item La funzione di distribuzione a due particelle $\rho(r_1,r_2;\ul{q})$ 
è data dalla funzione di distribuzione ad una particella in $r_2$ condizionata 
al fatto che una particella si trova in un volume $d^3r$ intorno ad $r_1$, dividendo  
poi per $d^3r_1$:
\beq
\rho(r_1,r_2;\ul{q})=\sum_i \delta(r_1-q_i) \sum_{j (\neq i)} \delta(r_2-q_j)= 
\sum_{i \neq j} \delta(r_1-q_i) \ \delta(r_2-q_j)
\eeq
\item La funzione di distribuzione a $n$ particelle è data dalla funzione di 
distribuzione a una particella nel punto $r_n$ condizionata dal fatto che una 
particella si trova in $r_1$, una in $r_2$, e così via, per cui
\beq
\rho(r_1,\cdots,r_n;\ul{q})=\sum_{i_1\neq i_2 \neq \cdots \neq i_n} \delta(r_1-q_{i_1}) 
\cdots \delta(r_n-q_{i_n})
\eeq
\end{itemize}
A questo punto, scelta una misura $d\mu$ sullo spazio delle fasi corrispondente 
a un opportuno insieme statistico, si definisce
\beq
\label{mediarho}
\rho(r_1,\cdots,r_n)=\int d\mu \ \rho(r_1,\cdots,r_n;\ul{q})
\eeq
Da questa definizione si vede facilmente che
\beq
\int d^3r_1 \cdots d^3r_n \ \rho(r_1,\cdots,r_n) = N(N-1)\cdots(N-n+1) = \frac{N!}{(N-n)!}
\eeq
Si possono definire anche le funzioni
\beq
g(r_1,\cdots,r_n)=\frac{\rho(r_1,\cdots,r_n)}{\prod_{i=1}^n \rho(r_i)}
\eeq

\subsubsection{Stati di equilibrio}

Assumiamo che l'energia potenziale abbia la forma
\beq
\Phi_N(\ul q)=\frac12 \sum_{i \neq j} \varphi(|q_i-q_j|) + \sum_i \BBB(q_i)
\eeq
dove $\varphi(r)$ rappresenta un potenziale di interazione di coppia e
$\BBB(r)$ rappresenta l'interazione con le pareti del recipiente
(o, eventualemente, un campo esterno);
interazioni che coinvolgono un numero arbitrario di particelle (tre,~quattro,~...)
verranno trascurate nel seguito.\\
Data una qualunque osservabile del sistema della forma
\beq
F(\ul{q})=\sum_i f_1(q_i) + \sum_{i\neq j} f_2(q_i,q_j) + 
\sum_{i \neq j \neq k} f_3(q_i,q_j,q_k) + \cdots = 
\sum_{n=0}^{N} \sum_{i_1\neq i_2 \neq \cdots \neq i_n} f_n(q_{i_1},\cdots,q_{i_n})
\eeq
come, ad esempio, l'energia potenziale, si potrà scrivere
\beq
F(\ul{q})=\sum_{n=0}^N \int d^3r_1\cdots d^3r_n \ f_n(r_1,\cdots,r_n) \ 
\rho(r_1,\cdots,r_n;\ul{q})
\eeq
per cui
\beq
\label{mediaoss}
\langle F(\ul{q}) \rangle=\int d\mu \ F(\ul{q})=\sum_{n=0}^N \int d^3r_1\cdots 
d^3r_n \ f_n(r_1,\cdots,r_n) \ \rho(r_1,\cdots,r_n)
\eeq
Dunque, note le  funzioni di distribuzione del sistema, sono noti i valori medi di 
tutte le osservabili del sistema. In questo senso nel limite termodinamico è possibile 
definire uno {\it stato di equilibrio} come l'insieme delle funzioni di distribuzione 
che si ottengono facendo il limite con determinate condizioni al bordo ${\cal B}$:
\beq
\rho_{(v,\beta,\BBB)}(r_1,\cdots,r_n)=\lim_{N \rightarrow \infty, \frac{V}{N}=v} 
\rho_{(N,V,\beta,\BBB)}(r_1,\cdots,r_n)
\eeq
Dimostreremo che nel gas rarefatto le condizioni al bordo  scompaiono nel limite  
termodinamico per cui lo stato di equilibrio è unico e non ci sono transizioni di fase.

\subsubsection{Insieme grancanonico}

Conviene discutere la teoria del gas rarefatto nell'insieme grancanonico, 
la cui funzione di partizione è data da
\beq
Z(\beta,\mu,V)=\sum_{N=0}^{\infty} e^{N\beta\mu} \int \frac{d^{3N}p \ d^{3N}q}{h^{3N}N!} 
e^{-\beta H_N(\ul{p},\ul{q})}=
\sum_{N=0}^{\infty} z^N \int \frac{d^{3N}q}{N!} e^{-\beta \Phi_N(\ul{q})}
= \sum_{N=0}^{\infty} z^N Z_N(\beta,V)
\eeq
dove $\lambda=\frac{h}{\sqrt{2m\pi T}}$ è detta {\it lunghezza d'onda termica} e 
$z=\frac{e^{\beta\mu}}{\lambda^3}$ è detta {\it attività}.
Quindi le funzioni di distribuzione sono date da
\beq
\label{funzdistr}
\begin{split}
\rho(r_1,\cdots,r_n)&=\frac{1}{Z(\beta,\mu,V)}\sum_{N=0}^{\infty}e^{N\beta \mu} 
\int \frac{d^{3N}p \ d^{3N}q}{h^{3N}N!} e^{-\beta H_N(\ul{p},\ul{q})} 
\sum_{i_1 \neq i_2 \neq \cdots \neq i_n} \delta(r_1-q_{i_1}) \cdots \delta(r_n-q_{i_n})\\ 
&=\frac{1}{Z(\beta,\mu,V)}\sum_{N=n}^{\infty} \frac{N!}{(N-n)!} 
\frac{e^{N\beta \mu}}{\lambda^{3N}} \int \frac{d^{3(N-n)}q}{N!} 
e^{-\beta \Phi_N(r_1,\cdots,r_n,q_{n+1},\cdots,q_N)} \\  
&=\frac{z^n}{Z(\beta,\mu,V)}\sum_{N=0}^{\infty} z^N 
\int \frac{d^{3N}q}{N!} e^{-\beta \Phi_{N+n}(r_1,\cdots,r_n,q_1,\cdots,q_N)}
\end{split}
\eeq
con la normalizzazione
\beq
\int d^3r_1 \cdots d^3r_n \ \rho(r_1,\cdots,r_n) = 
\left\langle \frac{N!}{(N-n)!} \right\rangle = 
\frac{\sum_{N=n}^\infty z^N Z_N \frac{N!}{(N-n)!}}{\sum_{N=0}^\infty z^N Z_N}
\eeq
Per il gas perfetto si ottiene facilmente
\beq
\rho(r_1,\cdots,r_n) \equiv \rho^n=z^n
\eeq
Ci aspettiamo quindi che nel limite di bassa densità quest'ultima coincida con l'attività.
Dalla (\ref{funzdistr}) si vede anche che il primo termine dello sviluppo in serie di
$\r$ delle funzioni di correlazione \`e dato da
\beq
\r(r_1,\cdots,r_n) = \r^n e^{-\b \Phi_n(r_1,\cdots,r_n)}
\eeq
dal momento che al primo ordine in $\r$ si ha $Z(\b,\m,V)=1$ e $z=\r$. Si ha quindi
\beq
g(r_1,\cdots,r_n) = e^{-\b \Phi_n(r_1,\cdots,r_n)} [ 1 + o(\r) ]
\eeq

\section{L'equazione del viriale e il coefficiente $B_2(T)$}

Per ottenere una espressione esplicita per il primo coefficiente del viriale,
osserviamo innanzitutto che, definendo la funzione 
$C(\ul q) = \sum_i q_i F_i(q)$ ({\it funzione del viriale}), 
si ha, utilizzando le equazioni del moto $m \ddot q_i(t) = F_i(t)$,
\beq
\langle C \rangle =
\lim_{\t \rightarrow \io} \frac{1}{\t} \int_0^\t dt \, C(\ul q(t))
= \lim_{\t \rightarrow \io} \frac{1}{\t} \int_0^\t dt \sum_i q_i(t) m \ddot q_i(t) =
- \lim_{\t \rightarrow \io} \frac{1}{\t} \int_0^\t dt \sum_i m |\dot q_i(t)|^2 =
- 3 N k_B T
\eeq
Separiamo poi il contributo delle forze interne dal termine di bordo; il contributo
di quest'ultimo \`e direttamente legato alla pressione: infatti, se assumiamo che le
particelle siano confinate in un cubo di lato $L$ centrato nell'origine e che
la funzione $\BBB(r)$ sia non nulla solo molto vicino alle pareti, nel limite
termodinamico possiamo approssimare
\beq
\langle \sum_i q_i F^\BBB_i(q) \rangle = 
3 \langle \sum_i x_i F^\BBB_{xi}(q) \rangle \sim
6 \frac{L}{2} \langle \sum_i F^\BBB_{xi}(q) \rangle
= - 3 L ( P L^2 ) = -3 P V 
\eeq
dove abbiamo utilizzato il fatto che i contributi per $x,y,z=\pm L/2$ sono uguali per 
simmetria e che $P L^2 = - \langle \sum_i F^\BBB_{xi}(q) \rangle$, cio\`e che la
pressione \`e l'area della faccia per la forza totale agente sulla faccia stessa.
Abbiamo quindi che
\beq
\label{viriale1}
\langle C^{int}(\ul q) \rangle = - 3 N k_B T + 3 PV
\eeq
Questa equazione \`e detta {\it equazione del viriale}. Essa pu\`o essere riscritta
in forma pi\`u semplice osservando che
\beq
C^{int}(\ul q) = \sum_i q_i F^{int}_i(\ul q) =
- \sum_i q_i \ \partial_i \sum_{j(\neq i)} \varphi(|q_i-q_j|) =
-\frac{1}{2} \sum_{i\neq j} (q_i-q_j) \nabla \varphi(q_i-q_j)
\eeq
Si pu\`o quindi applicare a $C^{int}(\ul q)$ l'equazione (\ref{mediaoss}) per $n=2$
e si ottiene
\beq
\begin{split}
\langle C^{int}(\ul q) \rangle &= -\frac12 \int dr_1 dr_2 \r(r_1,r_2) \, (r_1-r_2) 
\nabla \varphi(r_1-r_2) =
-\frac12 \r^2 V \int dr g(|r|) \, r \nabla \varphi(r) \\
&=-2 \p N \r \int_0^\io dr g(r) \, r^3 \varphi'(r)
\end{split}
\eeq
Inserendo questo risultato nella (\ref{viriale1}) si ha
\beq
\frac{\b P}{\r} = 1 + \frac{\b \langle C^{int}(\ul q) \rangle}{3N} =
1 - \frac{2 \p \b \r}{3} \int_0^\io dr g(r) \, r^3 \varphi'(r)
\eeq
da cui si vede che, se l'energia potenziale \`e la somma di interazioni di coppia,
l'equazione di stato \`e completamente determinata dalla conoscenza della funzione
di correlazione di coppia $g(r)$. \\
A partire dall'equazione del viriale si pu\`o ottenere il primo coefficiente della
serie del viriale $B_2(T)$ ricordando che il primo termine nello sviluppo di $g(r)$
\`e dato da $\exp[-\b \varphi(r)]$, per cui si ha
\beq
B_2(T) = - \frac{2 \p \b}{3} \int_0^\io dr e^{-\b \varphi(r)} \, r^3 \varphi'(r) =
- 2\p \int_0^\io dr \, r^2 \, \big[ e^{-\b \varphi(r)}-1 \big] =
- \frac12 \int d^3 r \, f(r)
\eeq
dove $f(r)=e^{-\b \varphi(|r|)}-1$. \\
{\bf Applicazioni:} i) misura sperimentale dei parametri di interazione Lennard-Jones
(Hansen, $\S$ 4.1);
ii) la correzione alla pressione per le sfere dure dipende solo dal valore della
$g(r)$ al contatto (Hansen, $\S$ 2.5); iii) equazione di stato di Van der Waals
(Gallavotti, $\S$ 5.1).

\section{Le equazioni di Kirkwood e Salsburg}

Ricaviamo adesso una relazione di ricorrenza che permetterà di ottenere uno sviluppo 
delle funzioni di distribuzione in potenze di $z$. Dal momento che per $z$ piccolo 
si ha $\rho \sim z$, questo sviluppo equivale a uno sviluppo in serie di potenze 
della densità.
Considereremo un potenziale $\Phi_N(\ul{q})$ che verifichi le ipotesi: \\
$\diamond$ {\it Portata finita}, ovvero $\varphi(q)=0$ per $q>r_0$. \\
$\diamond$ {\it Stabilità}, ovvero $\Phi_N(\ul{q})>-BN$. \\
Per semplicit\`a consideriamo un potenziale di bordo nullo all'interno del volume
$V$ e infinito all'esterno.
Definiamo inoltre $\Phi_{q_1}(\ul{q} \backslash q_1)=\sum_{i=2}^N \varphi(|q_1-q_i|)$, 
l'energia  di interazione tra la particella 1 e tutte le altre, e 
$\ul{r} \equiv (r_1,\cdots,r_n)$. A partire dall'ultima riga della (\ref{funzdistr}), 
separando $\Phi(\ul{r},\ul{q})=\Phi_{r_1}(\ul{r} \backslash r_1)+\Phi_{r_1}(\ul{q})+
\Phi(\ul{r} \backslash r_1,\ul{q})$ si ottiene:
\beq
\rho(\ul{r})=ze^{-\beta \Phi_{r_1}(\ul{r} \backslash r_1)} \sum_{N=0}^\infty 
\frac{z^{n+N-1}}{Z \ N!} \int d^{3N}q \ e^{-\beta \Phi(\ul{r} \backslash r_1,\ul{q})} 
\ \prod_{j=1}^{N} \ e^{-\beta \varphi(|r_1-q_j|)} 
\eeq
Nell'ultimo termine si può scrivere, all'interno dell'integrale:
\beq
\prod_j e^{-\beta \varphi_{1j}}=\prod_j (e^{-\beta \varphi_{1j}}-1+1)=1+\sum_{m=1}^N 
\binom{N}{m} \prod_{j=1}^m (e^{-\beta \varphi_{1j}}-1)
\eeq
L'ultima uguaglianza ha senso, ovviamente, solo all'interno dell'integrale perché 
l'integrando rimanente è simmetrico nelle variabili $\ul{q}$.
Si ottiene quindi, definendo $\rho(\emptyset) \equiv 1$,
\beq
\rho(\ul{r})=ze^{-\beta \Phi_{r_1}(\ul{r} \backslash r_1)} \left[ \ \rho(\ul{r} 
\backslash r_1) + \sum_{N=1}^\infty  \sum_{m=1}^N \frac{z^{n+N-1}}{Z \ m! \ (N-m)!} 
\int d^{3N}q \ e^{-\beta \Phi(\ul{r} \backslash r_1,\ul{q})} \ \prod_{j=1}^{m} \ 
\big[ e^{-\beta \varphi(|r_1-q_j|)}-1 \big] \right]
\eeq
Conviene a questo punto denominare $\ul{q}'$ le $N-m$ tra le $\ul{q}$ che rimangono 
libere dall'ultimo termine nell'integrale; ponendo  poi $N'=N-m$ 
e definendo $f(r)=e^{-\beta \varphi(|r|)}-1$ si ottiene
\beq
\rho(\ul{r})=ze^{-\beta \Phi_{r_1}(\ul{r} \backslash r_1)} \left[ \ 
\rho(\ul{r} \backslash r_1) + \sum_{N'=0}^\infty  \sum_{m=1}^\infty 
\frac{z^{n+N'+m-1}}{Z} \int \frac{d^{3m}q}{m!} \ \frac{d^{3N'}q'}{N'!} \ 
e^{-\beta \Phi(\ul{r} \backslash r_1,\ul{q},\ul{q}')} \ 
\prod_{j=1}^{m} \ f(r_1-q_j) \right]
\eeq
e infine, riarrangiando i termini, e utilizzando la (\ref{funzdistr})
\beq
\label{KiSa}
\begin{split}
\rho(\ul{r})=
&ze^{-\beta \Phi_{r_1}(\ul{r} \backslash r_1)} \left[ \ \rho(\ul{r} \backslash r_1) + 
\sum_{m=1}^\infty \int \frac{d^{3m}q}{m!} 
\left(  \prod_{j=1}^{m} \ f(r_1-q_j) \right)  
\sum_{N'=0}^\infty \frac{z^{n-1+m+N'}}{Z}\int \frac{ d^{3N'}q'}{N'!} \ 
e^{-\beta \Phi(\ul{r} \backslash r_1,\ul{q},\ul{q}')} \right] \\
=&ze^{-\beta \Phi_{r_1}(\ul{r} \backslash r_1)} \left[ \ \rho(\ul{r} \backslash r_1) 
+ \sum_{m=1}^\infty \int \frac{d^{3m}q}{m!} 
\left(  \prod_{j=1}^{m} \ f(r_1-q_j) \right) 
\rho(\ul{r} \backslash r_1,\ul{q}) \right]
\end{split}
\eeq
Queste relazioni sono dette {\it equazioni di Kirkwood-Salsburg}; possono essere messe 
in una forma più compatta definendo il vettore (adimensionale) 
$\ul{\rho} \equiv \{r_0^{3n} \rho(r_1,\dots,r_n),n \in \mathbb{N}\}$, 
e il vettore $\ul{\alpha}$ tale che $\alpha(r_1) \equiv 1$ e 
$\alpha(r_1,\cdots,r_n) \equiv 0, \ n>1$. Si ottiene
\beq
\label{eqKS}
\ul{\rho}=\zeta \ul{\alpha} + \zeta K \ul{\rho}
\eeq
dove $\zeta=zr_0^3$ è anch'essa adimensionale e l'operatore $K$ agisce linearmente su 
un generico vettore $\ul{v}$:
\beq
\begin{split}
\label{K}
(K\ul{v})(r_1,\cdots,r_n)&=e^{-\beta \Phi_{r_1}(r_2,\cdots,r_n)} \ 
\left[ \  v(r_2,\cdots,r_n) \ \delta_{n>1} + \sum_{m=1}^\infty 
\int \frac{d^{3m}q}{m! \ r_0^{3m}}
\left(\prod_{i=1}^m (e^{-\beta \varphi(r_1-q_i)}-1)\right) \ 
v(r_2,\cdots,r_n,\ul{q}) \ \right]
\end{split}
\eeq
In questo modo tutte le quantità in gioco sono state rese adimensionali; sarà possibile 
quindi risolvere iterativamente l'equazione (\ref{eqKS}) ottenendo
\beq
\label{serieKS}
\ul{\rho}=\sum_{p=0}^\infty (\zeta K)^p \ \zeta \ul{\alpha} = \frac{1}{1-\z K} \z \ul\a
\eeq
La serie (\ref{serieKS}) converge se $\Vert \z K \Vert < 1$, ovvero se, 
definendo opportunamente una norma $\Vert \ul{v} \Vert$ sullo spazio $\ul v$, si ha
$\Vert K \ul{v} \Vert \leq {\cal C}(\beta) \Vert \ul{v} \Vert$ e $\zeta {\cal C}(\beta)<1$.


\subsection{Convergenza della serie per attività piccola}

E' naturale definire la norma di un vettore 
$\ul{v} \equiv  \{v(r_1,\dots,r_n),n \in \mathbb{N}\}$ come
\beq
\Vert \ul{v} \Vert \equiv \sup_n \left[ \sup_{r_1,\cdots,r_n} | \ v(r_1,\cdots,r_n) \ |  \ \right]
\eeq
Stimiamo quindi $\Vert K \ul{v} \Vert$. 
Dal momento che $\Phi_N(\ul{r})$ verifica la proprietà di stabilità non potrà essere 
$\Phi_{r_i}(\ul{r} \backslash r_i) < -2B$ per tutti gli $r_i$. Infatti, se così fosse, 
si avrebbe $\Phi_N(\ul{r})=\frac{1}{2} \sum_i \Phi_{r_i}(\ul{r} \backslash r_i) < -BN$, 
il che contraddice  l'ipotesi di stabilità. Scegliamo quindi $r_1$ in modo 
che $\Phi_{r_1}(\ul{r} \backslash r_1) \geq -2B$; dalla (\ref{K}) si ottiene quindi
\beq
\label{stimaK}
\begin{split}
|(Kv)(r_1,\cdots,r_n)| &\leq e^{2\beta B} \Vert \ul{v} \Vert \left[ \ 1 + 
\sum_{m=1}^\infty \int \frac{d^{3m}q}{m! \ r_0^{3m}}
\prod_{i=1}^m \left|e^{-\beta \varphi(r_1-q_i)}-1\right| \ \right] \\ 
&= \Vert \ul{v} \Vert \exp \left[ 2\beta B + 
\int \frac{d^3q}{r_0^3} \left| e^{-\beta \varphi(q)}-1 \right| \right] = 
{\cal C}(\beta) \Vert \ul{v} \Vert
\end{split}
\eeq
e quindi
\beq
\Vert K \ul{v} \Vert \leq {\cal C}(\beta) \Vert \ul{v} \Vert
\eeq
La condizione per la convergenza della serie (\ref{serieKS}), $\zeta {\cal C}(\beta)<1$, 
è quindi
\beq
z<\frac{1}{r_0^3 {\cal C}(\beta)}=\frac{1}{r_0^3} e^{-2\beta B} e^{-{\cal I}(\beta)} \ , 
\ {\cal I}(\beta)=\int \frac{d^3q}{r_0^3} \left| e^{-\beta \varphi(q)}-1 \right| 
\eeq
e definisce una regione nel piano $(z,\beta)$ in cui le funzioni di distribuzione 
possono essere calcolate mediante lo sviluppo (\ref{serieKS}) in potenze di $z$. 

\subsection{Sviluppo in serie di $\rho$}

E' facile verificare che il primo termine della serie di $\rho(r_1,\cdots,r_n)$ \`e dato
da
\beq
\label{primoterminez}
\rho(r_1,\cdots,r_n) = z^n e^{-\beta \Phi_n(r_1,\cdots,r_n)} + o(z^{n+1})
\eeq
come gi\`a abbiamo discusso.
Infatti, $\alpha(r_1,\cdots,r_n)=0$ per $n > 1$, e
\beq
K \ul\alpha = \{ {\cal I}(\beta), e^{-\beta \Phi_2(r_1,r_2)}, 0, 0,\cdots \}
\eeq
ha tutte le componenti per $n>2$ nulle.
E' facile mostrare che, se $v(r_1,\cdots,r_n)$ \`e nullo per $n>p$, allora
$(K \ul v)(r_1,\cdots,r_n)$ \`e nullo per $n>p+1$ e si ha
\beq
(K \ul v)(r_1,\cdots,r_{p+1}) = e^{-\beta \Phi_{r_1}(r_2,\cdots,r_{p+1})} \ 
v(r_2,\cdots,r_{p+1})
\eeq
Si vede quindi per induzione che $K^p \ul\alpha$ ha tutte le componenti nulle
per $n > p+1$ e che 
\beq
(K^p \ul\alpha)(r_1,\cdots,r_{p+1})=e^{-\beta \Phi_{p+1}(r_1,\cdots,r_{p+1})}
\eeq
da cui segue la (\ref{primoterminez}).
Se il sistema è omogeneo, quindi, la densità 
$\rho \equiv \rho(r)$ è una funzione analitica di $z$ il cui sviluppo comincia 
dal termine lineare in $z$:
\beq
\rho = z + o(z^2)
\eeq
ed \`e possibile ottenere uno sviluppo equivalente delle funzioni di 
distribuzione in serie di potenze della densità --se quest'ultima è 
sufficientemente piccola-- della forma
\beq
\rho(\ul{r})=\rho^n e^{-\beta \Phi_n(\ul{r})}[1 + 
\rho F_1(\ul{r}) + \rho^2 F_2(\ul{r}) + \cdots ]
\eeq

\section{Esistenza del limite termodinamico per le funzioni di distribuzione}

La dimostrazione del paragrafo precedente \`e stata fatta supponendo di aver fissato
un volume $V$ all'interno del quale le particelle sono confinate.
Abbiamo quindi mostrato che, dette $\ul\r_V$ le funzioni di correlazione nel volume
$V$, si ha
\beq
\label{serieK}
\ul\r_V = \sum_{p=0}^\infty (\zeta K_V)^p \ \zeta \ul{\alpha} = \frac{1}{1-\z K_V}\z \ul\a
\eeq
L'operatore $K_V$ dipende dal volume $V$ solo perch\'e gli integrali in $q$ nella
(\ref{K}) sono fatti sul volume $V$. \\
Per $V$ abbastanza grande, la costante $\CC(\b)$ non dipende dal volume $V$ dato che la
funzione $f(r)=e^{-\b \varphi(|r|)} -1$ si annulla per $|r|> r_0$; quindi per $V$ abbastanza
grande la serie converge uniformemente in $V$ ed \`e possibile fare il limite termodinamico
termine a termine nella (\ref{serieK}). Il fatto che la funzione $f(r)$ si annulli
per $|r|>r_0$ garantisce l'esistenza di questo limite e la sua indipendenza dalla forma del
contenitore (purch\'e le sue dimensioni lineari vadano all'infinito con la stessa
velocit\`a nelle tre direzioni spaziali)
per $V$ grande, il che dimostra l'esistenza del limite termodinamico per le funzioni
di distribuzione.

L'indipendenza del limite dalle condizioni al bordo pu\`o essere dimostrata nel modo
seguente. La presenza di un termine di bordo $\BBB(r)$ nell'energia potenziale pu\`o
essere eliminata ridefinendo l'attivit\`a $z$ come
\beq
z(r) = \l^{-3} e^{\b [\m - \BBB(r)]}
\eeq
La derivazione delle equazioni di Kirkwood-Salsburg pu\`o essere ripetuta anche se
l'attivit\`a \`e una funzione del punto; si ottengono ancora le equazioni (\ref{KiSa})
con $z(r_1)$ al posto di $z$. Assumendo che l'energia di interazione con le pareti
sia limitata, $\BBB(r) \geq \BBB_0$, si ottiene una stima analoga alla
(\ref{stimaK}) con $2B \rightarrow 2B + \BBB_0$. Questo garantisce la convergenza della
serie del viriale anche in presenza di interazione con le pareti; il limite termodinamico 
pu\`o ancora essere fatto termine a termine nella serie perturbativa e si vede facilmente
che, se la portata dell'interazione $\BBB(r)$ \`e finita intorno alle pareti, cio\`e se
$\BBB(r) = 0$ quando la distanza tra $r$ e il bordo del contenitore \`e maggiore di un
certo $r_\BBB$, il limite non dipende da $\BBB(r)$ ed \`e lo stesso che si ottiene
per $\BBB(r)=0$. Possiamo quindi affermare che il limite termodinamico non dipende
dalle condizioni al bordo.

Si noti che una dipendenza residua dalle condizioni al bordo si ha se $\BBB_0 < 0$,
cio\`e in presenza di una interazione attrattiva con le pareti del contenitore.
Infatti in questo caso la presenza del termine di bordo diminuisce il raggio di convergenza
della serie del viriale. Fissato quindi un $\BBB_0 < 0$, si dovr\`a considerare 
una ``classe'' di condizioni al
bordo $\BBB_i(r)$ tali che $\BBB_i(r) > \BBB_0$, $\forall i$: per questa ``classe'' 
si avr\`a indipendenza dal limite termodinamico per $z < z(\BBB_0)$.
E' chiaro d'altronde che la presenza di una interazione attrattiva troppo forte con le
pareti del contenitore pu\`o portare a fenomeni di adesione delle particelle alle
pareti e quindi a situazioni fisiche radicalmente diverse da quelle che si vorrebbero
descrivere con questo approccio. \\
{\bf Applicazioni:} (Hansen, $\S$ 4.6) 
i) stima quantitativa del raggio di convergenza della serie
del viriale per le sfere dure; ii) equazione di stato di Carnahan-Starling 

\section{Decadimento esponenziale delle funzioni di correlazione}

Infine è possibile dimostrare che in un gas rarefatto le funzioni di correlazione connesse, definite da
\beq
\rho_c(\ul{q},\ul{q}')=\rho(\ul{q},\ul{q}')-\rho(\ul{q})\rho(\ul{q}')
\eeq
dove $\ul{q}=(q_1,\cdots,q_n)$ e $\ul{q}'=(q'_1,\cdots,q'_{n'})$, tendono a zero esponenzialmente in $d=d(\ul{q},\ul{q}')=\min_{ij}|q_i-q'_j|$.

\subsection{Un lemma}

Dimostriamo innanzi tutto che, se $d > r_0 p$, 
\beq
\label{fattorizza}
K^p\alpha (\ul{q},\ul{q}') - \sum_{p_1+p_2=p-1} K^{p_1}\alpha(\ul{q}) K^{p_2}\alpha(\ul{q}') = 0
\eeq
La dimostrazione può essere fatta per induzione; verifichiamo quindi che la (\ref{fattorizza}) sia vera per $p=1$:
\beq
K\alpha(\ul{q},\ul{q}')=\alpha(\ul{q})\alpha(\ul{q}')
\eeq
Per $n>1$ o $n'>1$ il secondo membro è nullo, e lo è anche il primo, come si verifica facilmente osservando che nella (\ref{K}) compaiono solo le componenti di $\alpha$ con $n>1$, nulle per definizione.
Per $n=n'=1$ il secondo membro è 1; il primo membro vale invece $e^{-\beta\varphi(q_1-q'_1)}$, dal momento che nella parte tra parentesi quadre è  non nullo solo il primo termine, uguale ad 1. D'altronde per $d>r_0$ il potenziale è nullo e quindi si ottiene l'uguaglianza.
Dimostriamo poi che se vale la (\ref{fattorizza}) si ha
\beq
K^{(p+1)}\alpha (\ul{q},\ul{q}') = \sum_{p_1+p_2=p} K^{p_1}\alpha(\ul{q}) K^{p_2}\alpha(\ul{q}')
\eeq
purché $d>r_0(p+1)$. Ovviamente se vale quest'ultima condizione si avrà anche $d>r_0p$. Sviluppando si ha
\beq
\begin{split}
K^{(p+1)}\alpha(\ul{q},\ul{q}') &= e^{-\beta \Phi_{q_1}(\ul{q}\backslash q_1,\ul{q}')} \ [ \  K^p\alpha(\ul{q}\backslash q_1,\ul{q}') \ \delta_{(n+n')>1} \\
&+\sum_{m=1}^\infty \int \frac{d^{3m}q''}{m!}\prod_{i=1}^m (e^{-\beta \varphi(q_1-q''_i)}-1) \ K^p\alpha(\ul{q}\backslash q_1,\ul{q}',\ul{q}'') \ ] \\
&= e^{-\beta \Phi_{q_1}(\ul{q}\backslash q_1)} \ [ \  K^p\alpha(\ul{q}\backslash q_1,\ul{q}') \\
&+\sum_{m=1}^\infty \int \frac{d^{3m}q''}{m!}\prod_{i=1}^m (e^{-\beta \varphi(q_1-q''_i)}-1) \ K^p\alpha(\ul{q}\backslash q_1,\ul{q}',\ul{q}'') \ ]
\end{split}
\eeq
tenendo conto che $n+n'>1$ sicuramente e che $|q_1-q'_i|>r_0 \ \forall i$ per cui $\Phi_{q_1}(\ul{q}\backslash q_1,\ul{q}')=\Phi_{q_1}(\ul{q}\backslash q_1)$.
Osserviamo ora che a causa del fattore $(e^{-\beta \varphi(q_1-q''_i)}-1)$ gli integrali in $\ul{q}''$ sono su una sferetta di raggio $r_0$ intorno a $q_1$ e quindi $d(\ul{q}\cup \ul{q}'',\ul{q}')>d(\ul{q},\ul{q}')-r_0>r_0p$.
Conviene ora trattare separatamente il caso $n>1$ e $n=1$.
\subsubsection{$n>1$}
In questo caso si può applicare la (\ref{fattorizza}) a entrambi i termini e si  ottiene
\beq
\begin{split}
K^{(p+1)}\alpha(\ul{q}, \ul{q}') &= e^{-\beta \Phi_{q_1}(\ul{q}\backslash q_1)} \sum_{p_1+p_2=p-1} [ \  K^{p_1}\alpha(\ul{q}\backslash q_1) \ K^{p_2}\alpha(\ul{q}') \\
&+\sum_{m=1}^\infty \int \frac{d^{3m}q''}{m!}\prod_{i=1}^m (e^{-\beta \varphi(q_1-q''_i)}-1) \ K^{p_1}\alpha(\ul{q}\backslash q_1,\ul{q}'') K^{p_2}\alpha(\ul{q}') \ ] \\
&= \sum_{p_1+p_2=p-1} K^{p_2}\alpha(\ul{q}') \{ e^{-\beta \Phi_{q_1}(\ul{q}\backslash q_1)} [ \  K^{p_1}\alpha(\ul{q}\backslash q_1) \\
&+\sum_{m=1}^\infty \int \frac{d^{3m}q''}{m!}\prod_{i=1}^m (e^{-\beta \varphi(q_1-q''_i)}-1) \ K^{p_1}\alpha(\ul{q}\backslash q_1,\ul{q}'') \ ] \ \} \\
&=\sum_{p_1+p_2=p-1} K^{p_1+1}\alpha(\ul{q})  K^{p_2}\alpha(\ul{q}')
\end{split}
\eeq
All'ultima somma manca il termine $K^0\alpha(\ul{q})K^p\alpha(\ul{q}')$ che però è nullo visto che $K^0\alpha(\ul{q})=\alpha(\ul{q})=0$ essendo $n>1$.

\subsubsection{n=1}

In questo caso si ha $\Phi_{q_1}(\ul{q}')=0$ dal momento che $d>r_0$; nel secondo termine si ha $d(\ul{q}',\ul{q}'')>r_0p$ e quindi
\beq
\begin{split}
K^{(p+1)}\alpha(q_1 , \ul{q}') &=  K^p\alpha(\ul{q}') \\
&+ \sum_{p_1+p_2=p-1} K^{p_2}(\ul{q}') \sum_{m=1}^\infty \int \frac{d^{3m}q''}{m!}\prod_{i=1}^m (e^{-\beta \varphi(q_1-q''_i)}-1) \ K^{p_1}(\ul{q}'') \\
&=\alpha(q_1) \ K^p\alpha(\ul{q}') + \sum_{p_1+p_2=p-1} K^{p_1+1}(q_1) \ K^{p_2}(\ul{q}') \\
&=\sum_{p_1+p_2=p}  K^{p_1+1}(q_1) \ K^{p_2}(\ul{q}')
\end{split}
\eeq
usando $\alpha(q_1)=1$, il fatto che il primo termine di $Kv(q_1)$ è nullo per la presenza della $\delta_{n>1}$ e identificando il primo termine col termine mancante nella somma. Questo completa la  dimostrazione della relazione (\ref{fattorizza}).

\subsection{La dimostrazione}

A partire dalla (\ref{fattorizza}) si ottiene immediatamente il decadimento 
esponenziale delle funzioni di correlazione. Infatti, si ha
\beq
\begin{split}
r_0^{3(n+n')} \Big[ \r(\ul q,\ul q') - \r(\ul q) \r(\ul q') \Big] &=
\sum_{p=0}^\io \z^{p+1} K^p \ul \a(\ul q,\ul q') - 
\sum_{p_1=0}^\io \z^{p_1+1} K^{p_1} \ul \a(\ul q)
\sum_{p_2=0}^\io \z^{p_2+1} K^{p_2} \ul \a(\ul q')\\
&= \z \ul \a(\ul q,\ul q') + 
\sum_{p=1}^\io \z^{p+1} \left[  K^p \ul \a(\ul q,\ul q') - 
\sum_{p_1+p_2=p-1} K^{p_1} \ul \a(\ul q) K^{p_2} \ul \a(\ul q') \right] \\
&=\sum_{p=[d/r_0]+1}^\io \z^{p+1} \left[  K^p \ul \a(\ul q,\ul q') - 
\sum_{p_1+p_2=p-1} K^{p_1} \ul \a(\ul q) K^{p_2} \ul \a(\ul q') \right]
\end{split}
\eeq
ricordando che $\a (q_1,\cdots,q_n)=0$ per $n \geq 2$ e che,
grazie alla relazione (\ref{fattorizza}), il termine fra parentesi \`e nullo
per $p < d/r_0$.
L'ultima linea dell'equazione precedente \`e il resto di una serie convergente il cui
termine $p$-esimo \`e stimato da $[\z \CC(\b)]^p$, per cui si ha
\beq
r_0^{3(n+n')} \Big| \r(\ul q,\ul q') - \r(\ul q) \r(\ul q') \Big| \leq
\AAA [ \z \CC(\b) ]^{d/r_0}
\eeq
dove $\AAA$ \`e una opportuna costante, il che mostra che le funzioni di correlazione
connesse decadono esponenzialmente in $d=\min_{ij} |q_i - q'_j|$.

\begin{thebibliography}{99}

\bibitem{Gallavotti} 
G. Gallavotti, {\it Statistical mechanichs: A short treatise}, Springer (1999),
online at {\it http://ipparco.roma1.infn.it}.

\bibitem{Hansen}
J.P.Hansen, I.R.McDonald, {\it Theory of simple liquids}, Academic Press (1986)

\end{thebibliography}

\end{document}


