Les équations aux dérivées partielles

Déformation d'une membrane élastique

La modélisation

Avant toute simulation numérique, il est nécessaire de bien comprendre le phénomène que l'on étudie et de l'exprimer clairement en termes mathématiques, c'est la modélisation du problème. Cette étape consiste principalement à définir les variables dont dépend le problème étudié et à établir des équations, c'est-à-dire des relations liant ces grandeurs les unes aux autres. Ceci est loin d'être facile ; par exemple, pour la membrane de tout-à-l'heure, quels paramètres prendrait-on ?

- Sa forme ?

- Ses dimensions ? (deux ou trois ?)

- Ses caractéristiques élastiques ?

- Sa couleur ?

- L'inclinaison du plan de travail par rapport à l'horizontale ?

- ...

Le choix de ces variables repose souvent sur des hypothèses physiques. Certaines variables n'ont clairement rien à voir avec notre problème, d'autres paraissent essentielles, mais nombreuses sont celles dont l'importance paraît faible... a-t-on le droit de les oublier pour autant ? Que peut-on négliger ? Le choix des paramètres, c'est-à-dire des variables, est difficile, il faut bien voir qu'il repose sur des hypothèses, dont parfois seul le calcul permet de confirmer la validité. Un modèle doit donc être utilisé dans la limite des hypothèses qui ont servi à son élaboration.

Une fois les variables définies, des considérations physiques permettent d'établir une ou plusieurs équations les liant. Comme nous allons le voir, ces équations ont pour solution une fonction (par exemple la fonction décrivant la forme de la membrane), et font partie de la famille des équations différentielles aux dérivées partielles. De nombreux phénomènes physiques, en mécanique des solides, en mécanique des fluides, en thermodynamique, en électromagnétisme,... sont régis par de telles équations.

Les équations aux dérivées partielles

Déformation d'une membrane élastique

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