Les cordes du type II

Référence:

``T duality of Perturbative Characters for Closed Bosonic and Type II string theories'', Nucl. Phys B509 (1998) 83.

En collaboration avec E. Cremmer, j'ai étudié systématiquement les propriétés de dualité des caractères du groupe des rotations transverses en théorie des supercordes. Il est bien connu que, de façon générale, les caractères sont des outils efficaces pour comprendre les propriétés de symétries, car il ne dépendent pas de la réalisation particulière des représentations considérées. Bien qu'elle soit restreinte aux états perturbatifs, notre étude montre en effet que les caractères de cordes, déjà introduits auparavant pour déterminer la distribution en spins des états massifs, sont un outil de choix pour comprendre la dualité T.

Le calcul des traces sur les modes d'oscillations de cordes ne présente pas de difficulté, mais le développement du résultat en somme de caractères irréductibles est un problème difficile. En vue de futures applications, nous avons tout d'abord mis en uvre les progrès mathématiques récents sur les caractères des groupes classiques. En particulier, nous avons ainsi démontré que le développement des caractères de théories de cordes en terme de représentations irréductibles du groupe linéaire agissant sur les coordonnées transverse, a pour coefficients les polynômes de Schür du goupe linéaire à une infinité de dimensions, avec comme arguments l'ensemble $\left\{q^n\right\}$, pour $n=0,\ldots, \infty$, où $q=\exp(2i\pi \tau)$. Le paramètre $\tau$ est le paramètre modulaire du tore usuel. Par ailleurs, nous avons montré comment on peut définir des caractères invariants modulaires pourvu que, contrairement à ce qui se faisait auparavent, l'on prenne aussi la trace sur la représentation engendrée par les rotations du moment total transverse. Ceci s'applique à toutes les théories de cordes fermées. Pour les supercordes de type II, nous avons ensuite démontré que la trialité du groupe $O(8)$ correspond, pour les caractères à des relations quadratiques entre fonctions théta originellement découvertes par Jacobi. L'exploitation systématique des ces relations, nous a conduit à l'existence d'une troisième formulation des supercordes équivalente à celles de Neveu-Schwarz-Ramond et de Green-Schwarz, mais utilisant des opérateurs conformes de nature différente. Ces relations nous ont également permis de déduire de façon fermée les conséquences de la supersymétrie sur les caractères en factorisant explicitement, du caractère obtenu en sommant sur tous les états massifs, le caractère du multiplet long de supersymétrie.