Réalisation opératorielle de l'action par coproduit

Références:

1995: ``Operator coproduct-realization of quantum group transformations in two-dimensional gravity I'', prétirage, Comm. in Math. Phys. 178 (1996) 174.

1996 ``Hidden $U_q(sl(2))\otimes U_q(sl(2))$ quantum group symmetry in two dimensional gravity'' Comm. in Math. Phys. 183 (1997) 609.

Bien que la structure de groupe quantique de Liouville apparaisse clairement, puisque les coefficients de l'algèbre des opérateurs sont proportionnels à des symboles du groupe $U_q(sl(2))$, la construction explicite en théorie des champs des générateurs quantiques de cette symétrie cachée est un problème difficile. Tout d'abord (1995) et en collaboration avec E. Cremmer et J. Schnittger, j'ai mis en évidence une relation nouvelle, très simple, entre la matrice R universelle de $U_q(sl(2))$ (pour spins $1/2$ et $J$) et la forme appropriée de l'action par coproduit des générateurs du groupe agissant dans l'espace d'Hilbert des états. Ceci nous a permis de montrer que les opérateurs covariants de spins $1/2$ donnent une réalisation explicite de ces générateurs qui, bien que dépendant des coordonnées d'un point de la surface d'univers, permettent de démontrer la covariance par action du groupe quantique des matrices de fusion et d'échange.

En plus de leur dépendance par rapport à un point, ces générateurs satisfont une algèbre d'un nouveau type que nous appelons ``à points fixés'' qui est une extension centrale de $U_q(sl(2))$. Ceci est expliqué en montrant que le lien entre l'algèbre des transformations des champs et celle des générateurs par coproduit est plus faible qu'il n'y paraissait a priori. Le terme central est relié aux descendants de l'unité. Cette structure détermine de plus la structure d'algèbre de Hopf du groupe quantique complet $U_q(sl(2)) \odot U_{\widehat q}(sl(2))$ lié à l'existence des deux charges d'écran.

Par la suite (1997) nous avons transformé cette structure en passant à la base des opérateurs du type onde Bloch qui sont directement liés à la représentation du gaz de Coulomb. Ceci établit pour la première fois les propriétés de symétrie de ce type d'opérateur par action d'un groupe quantique.

Une symétrie q-déformée d'un type nouveau a ainsi été mise en évidence. Pour un seul type de charge d'écran elle est engendrée par les générateurs de $U_q(sl(2))\otimes U_q(sl(2))$ avec une structure de Hopf différente de la structure standard. Les valeurs propres des deux générateurs de Cartan sont spécifiés directement par le choix d'élément de matrice du champ primaire considéré (c'est à dire par les modules de Verma du bra et du ket). Les seules représentations réalisées sont telles que les deux opérateurs de Casimir des deux $U_q(sl(2))$ ont des valeurs propres égales, spécifiées par le poids conforme de l'opérateur. Cette symétrie, partiellement cachée en théorie de Liouville (elle ne peut être effectivement réalisée que dans une extension de cette théorie que nous avons mise en évidence) possède une structure de Hopf nouvelle, compatible avec les restrictions que nous venons de résumer. Pour les racines de l'unité elle donne la troncation correcte du spectre qui reproduit la liste des champs primaires des modèles minimaux. Ainsi, au prix d'une certaine généralisation des notions standard, nous avons effectivement construit des générateurs de la symétrie de groupe quantique pour la gravité bidimensionnelle.