Determination complète de la structure de l'algèbre de produit des opérateurs chiraux

Références²⁰:

``The quantum group structure of 2-D gravity and minimal models II: The genus-zero conformal bootstrap'' Comm. in Math. Phys. 161 (1994) 597, ``The genus-zero bootstrap of chiral vertex operators in Liouville theory'', Nucl. Phys. B413 (1994) 244. .

Dans ces deux articles écrits en collaboration avec C. Cremmer et J.F. Roussel, mes travaux précédents ont été complétés pour déterminer de façon exhaustive la structure de produit d'opérateurs pour les composantes chirales des exponentielles de Liouville, dans le cas où les spins des représentations de $U_q(sl(2))$ sont positifs entiers. Elle est mise en relation précise avec les symboles (3j, 6j, matrice R universelle) de $U_q(sl(2))$, en utilisant le formalisme général de Moore et Seiberg qui nous a permis de travailler à tous les ordres dans les descendants. Nous avons montré que les matrices de fusion et de tresse ne sont que proportionnelles aux symboles du groupe quantique²¹. Le facteur de proportionalité est exprimable en terme de constantes de couplage à trois $J$ dont nous donnons une forme générale. Nos formules sont nouvelles malgré le grand nombre d'études de ce problème. Elles ont une intéressante structure en terme de gravité discrète tridimensionnelle qui est en partie nouvelle.

Dans le premier article, les matrices de fusion et d'échange associées aux états nuls de Virasoro sont obtenues sous forme fermée, pour les opérateurs qui diagonalisent la monodromie (du type $V$), en utilisant l'approche opératorielle à la théorie de Liouville, rappelée plus haut. Il a été démontré que ces matrices ne sont pas simplement égales aux symboles 6j du groupe quantiques, comme de nombreux auteurs l'avaient pensé, mais qu'elles contiennent des facteurs (qui sont eux-mêmes des produits de quantités dépendant de trois des spins concernés) que nous avons appelés les constantes de couplage. Comme l'algèbre de ces opérateurs ne contient que des spins totaux, ils apparaissent comme des invariants du groupe quantique. Notre étude, qui concerne le cas de représentations usuelles²²du groupe quantique (spins demi-entiers positifs) découle de façon systématique des équations différentielles qui sont équivalentes au découplage de l'état nul de Virasoro au deuxième niveau, combinées avec le formalisme de Moore et Seiberg qui permet de travailler à tous les niveaux de descendants. Les constantes de couplage, déterminées dans le cas général (avec les deux charges d'écran) sont données par des produits sur un réseau dans l'espace des modes zéro de Liouville, qui ne dépendent pas du chemin suivi. Nous reviendrons plus loin sur cet aspect.

Dans le deuxième article, nous avons complété cette étude, en incluant les opérateurs covariants (du type $\xi$) que j'avais déterminés auparavant et dont la matrice d'échange coïncide avec la matrice universelle de $U_q(sl(2))$. La relation entre les opérateurs invariants (du type $V$ ou IRF) précédents et les opérateurs covariants (du type $\xi$ ou vertex) a été pleinement clarifiée et connectée avec la transition entre ``monde de ombres'' et ``monde réel'' pour les symboles du groupe quantique selon Kirilov et Reshetikhin. Nous avons montré que l'habillage par symbole 3j correspondant proposé antérieurement par Pasquier se réduit à ma transformation, rappelée au paragraphe précédent, dans une limite du plan complexe où un des spins totaux du 3j devient très grand. Dans l'image tridimensionnelle, où l'algèbre des opérateurs de type $V$ correspond à la gravité simplicielle à la Ponzano-Regge, l'introduction des opérateurs de type $\xi$ donne un généralisation nouvelle de cette dernière qui inclut les symboles 3j et la matrice R universelle en plus des 6j. En général nous avons montré comment une ligne de type $\xi$ peut être obtenue, dans cette gravité simplicielle étendue, par une limite de spin infini à partir d'une ligne de type $V$.