Théories unitaires pour la gravité quantique en couplage fort

Références:

``Solving the strongly coupled 2D gravity: 1. Unitary truncation and quantum group structure'', Commun. in Math. Phys. 138 (1991) 301.

Comme mentionné page , la continuation des formules du couplage faible, pour une charge centrale supérieure à 25, est caractérisée par l'apparition de quantités complexes qui n'ont pas a priori de sens physique, et il existe trois valeurs spéciales de la charge centrale où un opérateur particulier de poids conforme réel satisfait une algèbre de tresse fermée. En utilisant la structure de groupe quantique mentionnée plus haut, il m'a été possible d'étendre ce résultat à une famille infinie d'opérateurs chiraux. Mon résultat s'exprime par le théorème de découplage unitaire suivant qui généralise les propriétés de l'opérateur particulier, mentionnées plus haut.

Ainsi la présente méthode permet de véritablement traverser²³ la ``barrière à $c=1$''. Jusqu'à présent elle semble être la seule à pouvoir le faire. Ce théorème confirme, pour le cas bosonique, les hypothèses faites pour établir l'existence de cordes de Liouville

En général, c'est-à-dire pour des théories non rationnelles, il existe deux déformations quantiques incommensurables, correspondant aux deux charges d'écran. Une famille d'opérateurs, représentations du groupe quantique, est associée à chacun d'eux. La démonstration est basée sur les propriétés mathématiques suivantes qui relient ces deux familles conformes holomorphes: D'une part, pour ces valeurs spéciales de la charge centrale, les deux paramètres de déformation des groupes quantiques sont tels que leur somme est un multiple de $\pi$. Il en résulte²⁴, comme je l'ai montré, que la matrice de tresse d'une des familles est reliée à l'inverse de l'autre, et que les coefficients de Clebsch-Gordan sont égaux à un signe près si l'on change le signe des nombres quantiques magnétiques. D'autre part, le spectre des modes zéro de l'espace ${\cal H}_{phys}$ est tel qu'il existe une relation simple entre les deux matrices du changement de base entre les opérateurs $V$ et $\xi$ mentionnés plus haut. La famille ${\cal A}_{phys}$ est constituée de deux familles ${\cal A}_{phys}^{\pm}$ ayant des poids positifs et négatifs, respectivement. Tout d'abord une expression générale a été donnée pour ${\cal A}_{phys}^{-}$. Il existe un opérateur pour toute valeur du spin $J$ telle que $2J$ soit un entier positif. La fermeture par échange et fusion résulte, respectivement, des propriétés qui viennent d'être indiquées pour les matrices d'échange et pour les coefficients de Clebsch-Gordan. Par ailleurs, la relation qui existe entre matrices de changement de base montre que les champs physiques ont aussi une expression très simple en terme des opérateurs $V$, d'où il découle immédiatement que ${\cal H}_{phys}$ est laissé invariant. L'autre ensemble ( ${\cal A}_{phys}^{+}$) est plus compliqué car il faut introduire des opérateurs de spins négatifs. Ceci se fait grâce une symétrie entre spins $J$ et $-J-1$, appliquée à un seul type de charge d'écran, que j'ai mise en évidence de plusieurs façons. D'un côté, les coefficients des matrices de changement de base ont pu être réexprimés comme des fonctions hypergéométriques ``q-déformées'' encore appelées fonctions hypergéométriques basiques bien connues en mathématiques. Ces fonctions satisfont des propriétés de symétrie dans des transformations de leurs arguments qui généralisent des résultats standard pour les fonctions hypergéométriques ordinaires. En particulier, il existe une telle relation due à Rodgers qui donne une continuation naturelle en $J$ et montre précisément l'existence d'une telle symétrie. D'un autre côté, les formules pour les matrices d'échange et pour les coefficients de Clebsch-Gordan sont invariantes dans ce changement. Les opérateurs de ${\cal A}_{phys}^{+}$ ont donc été déduits de ceux de ${\cal A}_{phys}^{-}$ à l'aide de cette symétrie d'où il résulte que les propriétés voulues sont satisfaites. Pour les opérateurs de poids positifs, la discussion bien que très convaincante n'est cependant pas encore au niveau d'une démonstration mathématique.