La supergravité à deux dimensions

Référence:

``The quantum group structure of $N=1$ supergravity in two dimensions'', Comm. in Math. Phys. 143 (1991) 175.

En ce qui concerne, l'extension supersymétrique de la théorie de Liouville, B. Rostand et moi-même avons déterminé le changement de base entre opérateurs $V$ et $\xi$. Nous avons ainsi obtenu la structure de groupe quantique associée à la supergravité bidimensionnelle. Elle est proche de la déformation quantique de $osp(1,2)$ introduite par Kulish, mais en diffère de façon significative. Nous avons également étendu l'étude du couplage fort résumée plus haut. Dans l'état actuel des choses, nous n'avons obtenu qu'une seule ($\hat C=5$) des trois valeurs spéciales attendues. La cas de $\hat C=7$ utilisé précédemment pour comparaison avec le modèle d'Ising à trois dimensions reste à élucider. Cet article, bien que peu cité est une étape importante pour la résolution de la supergravité bidimensionnelle fortement couplée.

La discussion de la théorie de Liouville avait été étendue à celle de super-Liouville par Arvis et Babelon, utilisant la base des opérateurs $V$. La problème du passage aux $\xi$ est bien plus complexe que pour Liouville. Pour le nouveau groupe quantique que nous avons obtenu, nous avons déterminé la matrice R universelle et le co-produit. Ce dernier ne devient pas trivial dans la limite où la déformation du groupe tend vers zéro, contrairement à ce qui se passe habituellement. Ceci est lié au fait que, par opposition à la déformation de Kulish, aucune graduation n'est introduite au départ, car l'algèbre est directement réalisée par des grandeurs physiques utilisant les nombres naturels commutants. La limite classique du co-produit reproduit précisément la graduation associée à la supersymétrie habituelle.