La gravité quantique sur une surface à bords

Référence:

``The quantum strip: Liouville theory for open strings'' Comm. Math. Phys. 144 (1992) 144.

En collaboration avec E. Cremmer, j'ai utilisé la structure de groupe quantique mentionnée plus haut pour étudier la gravité sur une bande, imposant les conditions aux limites que j'avais utilisées antérieurement avec A. Neveu. Nous avons construit la famille des opérateurs locaux qui sont fermés par fusion et tresse. Ceci nous a amenés à une expression générale pour la matrice de réflexion du groupe quantique $U_q(sl(2))$. Ainsi la théorie de Liouville avec bords, qui est nécessaire pour les cordes ouvertes non-critiques a été amenée au même état de compréhension que la théorie de Liouville sans bord qui est associée aux cordes fermées. Récemment ce type de problème a été beaucoup étudié. Une grande activité s'est déplouée sur les sytèmes intégrables avec bords, qui se poursuit actuellement.

Dans la première période (v. la section 1.2.3), A. Neveu et moi-même utilisions la base des $V$ et n'avions pu obtenir que le champ local le plus simple contenant des opérateurs chiraux dans la représentation de spin $1/2$; car nos formules étaient assez compliquées. Dans la nouvelle base (des $\xi$) tout devient beaucoup plus simple. Nous avons été capables d'écrire l'opérateur local le plus général, et de vérifier explicitement la fermeture par fusion et échange. Les formules obtenues sont très élégantes et la fermeture résulte de propriétés que l'on vérifie au niveau des groupes quantiques eux-mêmes et qui semblent mathématiquement nouvelles. En temps que système bidimensionnel, cette construction a des applications physiques directes pour décrire des particules diffusant en présence d'un mur impénétrable.