1970-71: Lagrangien supersymétrique

Référence:

`` Field theory interpretation of supergauges in dual models'', Nucl. Phys. B34 (1971) 832, reproduit dans le volume ``Superstrings, the first fiveteen years'' collecté par J. Schwarz.

En collaboration avec B. Sakita, j'ai démontré pour la première fois l'invariance d`un lagrangien par supersymétrie. Ce lagrangien est de la forme

$${\cal L}= -2 \partial_z X \partial_{\bar z}X +2 i [\bar \psi_2 \partial_z \psi_1+ \bar \psi_1 \partial_{\bar z}\psi_2],$$

où $z$ et $\bar z$ sont des coordonnées bidimensionnelles, $X(z,\bar z)$ est un champ bosonique et les $\psi_i(z,\bar z)$ sont des champs de Dirac. Notre contribution a été d'écrire la première symétrie à paramètre anticommutant qui mélange les bosons et fermions. Wess et Zumino se sont inspirés de nos travaux pour introduire la supersymétrie à plus de deux dimensions.

Le lagrangien ci-dessus est invariant, à une derivée totale près, par la transformation

$$\delta\psi_1 =\chi \epsilon g_1(z) \partial_z X, \quad \delta\bar \psi_2 =\chi \epsilon g_2(\bar z) \partial_{\bar z} X$$

$$\delta X=-\chi {i\epsilon \over 2} \left [ g_2 \psi_1 +g_1 \bar \psi_2 +\bar g_2 \bar \psi_1+ \bar g_1 \psi_2\right ].$$

La transformation est écrite au premier ordre en $\epsilon$. Le paramètre $\chi$ est supposé anticommutant. Les fonctions $g_1$ et $g_2$ sont arbitraires mais ne dépendent que d'une seule variable.

Comme il est bien connu, la découverte de la supersymétrie¹est venue des travaux de Neveu, Schwarz et Ramond sur la généralisation du modèle de Veneziano. En effet, ils ont introduit des algèbres graduées d'opérateurs, (qui sont fermées en partie par commutateurs et en partie par anticommutateurs) en vue d'éliminer les états fantômes de ce qui deviendrait par la suite les supercordes. On donnait à l'époque le nom de superjauges à ce mécanisme. Cependant leur traitement, n'avait encore aucune interprétation du point de vue de la théorie des champs bidimensionnels que Sakita et moi-même poursuivions à l'époque. Nous avons donc introduit le lagrangien ci-dessus comme décrivant la dynamique des théories de Neveu-Schwarz-Ramond sur la surface d'univers balayée par la corde, et fait l'hypothèse que les superjauges mentionnées plus haut proviennent de la supersymétrie du lagrangien qui vient d'être rappelé. Ceci a été pleinement confirmé par la suite. En fait, le lagrangien ci-dessus peut être déduit de celui de la supergravité à deux dimensions en se plaçant dans la jauge superconforme.