1968-69: Brisure de symétrie en théorie locale des champs

Référence:

``Renormalization of the $\sigma$-model. II. Fermion fields and regulators'', Nucl. Phys. 312 (1969) 627.

B. Lee, et moi-même avons étudié la renormalisation d'un lagrangien du type suivant, à quatre dimensions:

$${\cal L}={\bar \psi} \left [ i\gamma . \partial -g (\sigma+... ...(\partial_\mu \sigma)^2 + (\partial_\mu \vec \pi)^2 \right ]$$

$$- {m^2 \over 2} \left [ \sigma^2 + \vec \pi^2 \right ]- {\... ...2 + \vec \pi^2 \right ] ^2 + c \sigma +\hbox {contretermes}.$$

Avec le recul, il semble que notre contribution principale ait été de montrer que la renormalisation doit se faire sans introduire de brisure supplémentaire de l'invariance chirale, même dans le cas de symétrie brisée, et en présence de l'anomalie triangulaire de Bell-Jackiw, Adler. Nous avons traité le cas à symétrie brisée ($m^2<0$) par continuation analytique à partir du cas symétrique $m^2>0$. Ainsi nous avons effectivement introduit le concept de transition de phase dans ce problème. G. 't Hooft, alors jeune étudiant, a suivi le cours de B. Lee à Cargèse l'été suivant, et nos travaux semblent avoir été importants dans le développement de ses idées sur la renormalisation de la théorie de Weinberg-Salam.

L'indice $\mu$ se réfère à l'espace-temps à quatre dimensions; $\vec \tau$ représente les matrices de Pauli. Les champs fermioniques $(1\pm i \gamma_5)\psi /2$ forment un multiplet $(1/2, 1/2)$ de $SU_2 \otimes SU_2$. Les champs bosoniques $\sigma$ et $\vec \pi$ se transforment comme un multiplet de type $(1,1)$. À cette époque, les articles de Bell, Jackiw et Adler sur l'anomalie triangulaire venaient juste de paraître. Il régnait encore une grande confusion sur le traitement des symétries en théorie des champs. Le lien entre brisure spontanée ou induite et phénomènes critiques restait entièrement à établir. Le modéle $\sigma$ considéré² nous a permis de faire un grand pas dans cette direction. À l'époque, il était considéré comme un modèle de l'interaction pion-nucléon, dans laquelle les hypothèses de l'algèbre des courants peuvent être déduites du théorème de Noether, et où le terme de brisure explicite $c\sigma$ fait que la divergence du courant axial ( $\bar \psi \vec \tau \gamma^\mu \gamma_5 \psi+$ termes bosoniques) est proportionelle au champ $\vec \pi$, c'est à dire, où P.C.A.C. est verifié explicitement. En fait cette théorie a été importante, pour $c=0$, comme modèle de brisure spontanée, dans le cas où la masse carrée nue $m^2$ est choisie négative. A ce moment là, la masse physique du champ $\vec \pi$ est nulle en accord avec le théorème de Goldstone. De plus, la présence de fermions permet d'étudier l'anomalie triangulaire, et à l'époque, il avait été proposé de se débarrasser de celle-ci à l'aide d'une régularisation qui brise l'invariance chirale.

Notre contribution essentielle a été de montrer que la théorie symétrique et la théorie à symétrie brisée ont les mêmes divergences ultraviolettes et que, en fait, la régularisation de cette dernière doit se faire sans introduire de brisure supplémentaire. Pour cela nous l'avons définie par continuation en $m^2$ à partir du cas symétrique $m^2>0$. Dans le language de mécanique statistique qui a été utilisé par la suite, ceci est évidemment très naturel, puisque $m^2$ joue le rôle de $T-T_c$. Pour $c=0$, et après remplacement du groupe $SU_2 \otimes SU_2$, par $SU_2\otimes U_1$, ce lagrangien couplé à des champs de Yang et Mills devient celui de Salam-Weinberg.