Progress in classically solving ten dimensional super Yang-Mills theories LPTENS-98/41 hep-th/9811108.
Cet article décrit les résultats obtenus avec M. Saveliev. Notre observation nouvelle de base est qu'il existe une jauge du cône de lumière sur la couche de masse (c'est à dire qui suppose les équations du mouvement satisfaites), où la moitié des composantes fermioniques s'annule. Elle est telle que les conditions de compatibilité de la paire de Lax mentionnées plus haut deviennent de simples équations linéaires, du type auto-dualité à huit variables qui sont donc résolubles explicitement. Pour simplifier, nous avons supposé que la solution ne dépend que du temps et d'une variable d'espace bien choisie. Cette réduction correspond à la théorie M(atrice) compactifiée sur un cercle. La solution générale de nos conditions d'auto-dualité à huit variables a été obtenue sous forme fermée, en remarquant qu'il y a une analogie entre l'algèbre des superdérivées considérées et l'algèbre de Dirac à huit dimensions d'espace.
Avec notre choix de jauge, les potentiels vecteurs fermioniques non nuls dérivent d'un superpotentiel scalaire. En terme de ce superpotentiel, les autres équations, qui sont non linéaires, prennent une forme proche de celle des équations de Yang qui apparaissent dans la résolution des équations de Yang et Mills auto-duales bosoniques à quatre dimensions. En fait, il existe une ressemblance frappante entre les deux systèmes d'équations et qui est telle que les méthodes antérieurement développées, qui étaient restreintes à quatre dimensions, peuvent être adaptées à notre problème. Les différences (le passage à des superdérivées et un réarrangement des indices) font que l'on n'est plus restreint à un système de deux équations du premier ordre comprenant deux opérateurs dérivées et leurs conjugués. On peut traiter de façon analogue notre cas d'un système de huit équations du premier ordre comprenant huit opérateurs superdérivées et leurs conjugués. Ainsi nous avons obtenu une classe de solutions définies par une série de perturbations dont tous les termes sont donnés récursivement par des intégrales de Cauchy. Ces solutions sont les analogues de celles obtenues antérieurement par Lesnov.