Vers une intégration des théories de jauge à supersymétries maximales.

Depuis leur découverte, il y a une trentaine d'années²⁶, les supersymétries (symétries à paramètres anticommutants) ont donné lieu à des développements théoriques remarquables, bien que leur verification expérimentale se laisse toujours attendre. Elles jouent un rôle crucial dans tous les progrès récents de la physique des particules élémentaires. Nous ne parlerons pas ici de l'aspect théories des cordes et membranes car mes recherches récentes se sont concentrées sur les théories locales de champs supersymétriques. Dans ce cadre, il existe deux types de théories dont toutes les autres sont déduites par réduction dimensionelle ou compactification: les supergravités à dix ou onze dimensions et les théories de Yang et Mills à supersymétrie simple à dix dimensions. C'est sur ces dernières que j'ai concentré mes efforts pour développer des méthodes d'intégration classiques exactes, car ce sont celles qui semblent actuellement les plus prometteuses de ce point de vue. En effet des résultats non perturbatifs très frappants ont été récemment obtenus à l'initiative de Seiberg et Witten, pour les théories de jauge quantiques à supersymétrie étendue à quatre dimensions. Une autre indication dans la même direction, celle-ci au niveau classique, est que les équations du mouvement sont équivalentes à des conditions de courbure nulle dans le super-espace associé, ce qui rappelle évidemment le cas fameux de la dynamique de Yang-Mills self duale à quatre dimensions. On peut considérer par conséquent que les théories de jauge à supersymétrie maximale sont des analogues à plus de dimensions des théories conformes ou intégrables à deux dimensions dont les progrès spectaculaires récents sont bien connus. Du point de vue physique, par ailleurs, des arguments convaincants ont été donnés montrant que la théorie (M)atrice, qui unifierait toutes les théories de supercordes, est précisément obtenue par réduction dimensionnelle de la théorie de Yang-Mills supersymétrique à dix dimensions si le groupe de jauge est choisi comme étant SU(N), avec N tendant vers l'infini.

Avec ces motivations j'ai entrepris, durant l'automne 1997, un programme d'étude systématique en collaboration avec M. Saveliev, malheureusement brusquement décédé le 20 septembre 1998. Comme rappelé plus haut, les équations dynamiques de super Yang-Mills à dix dimensions sont équivalentes à des conditions de courbure nulles sur certains hyperplans dans le super espace. Elles sont donc intégrables au sens faible, mais aucune solution non triviale n'a pu être obtenue jusqu'à présent car cela conduit à une représentation de Lax où le paramètre spectral est un vecteur, ce qui donne des conditions de compatibilité du type modèle sigma non linéaire qui n'avaient pas pu être résolues. M. Saveliev est malheureusement disparu précisément au moment où notre programme de recherche commençait à porter ses fruits, en prenant une direction différente de nos idées de départ sur lesquelles je reviendrai plus loin.