1975-76: Coordonnées collectives - modes zéro en théorie des champs

Références:

``Extended particles in quantum field theories'', Phys. Rev. D11 (1975) 2943;

``Perturbation expansion around extended-particle states in quantum field theory'', Phys. Rev. D12 (1975) 1038;

``Collective coordinate method for quantization of extended systems'', Phys. Report C23 (1976) 281.

En collaboration avec B. Sakita et A. Jevicki, j'ai montré comment traiter les modes zéro bosoniques qui font obstruction à la quantification perturbative des fluctuations autour des solutions classiques du type soliton ou instanton. Ces modes zéro sont dûs à l'existence de symétries qui sont brisées par la solution classique. Nous avons établi une méthode de type coordonnées collectives, inspirée par le problème à N corps, où ces degrés de libertés sont traités exactement, ce qui résoud le problème. Ce travail a été fréquemment utilisé (redécouvert) depuis. Il fait partie des connaissances de base dans bien des domaines du problème à N corps, de la théorie locale des champs et de la théorie des (super)cordes. Actuellement, on en est à l'étude systématique des effets non perturbatifs en théorie des cordes et des d-branes. L'étude des domaines de variations des coordonnées collectives, maintenant appelés espace de modules, joue un rôle fondamental.

Soit par exemple la théorie $\phi^4$ à deux dimensions, avec masse carrée négative. Il existe une solution soliton $\phi_s=\lambda \tanh (x)$ qui brise l'invariance par translation de la coordonnée spatiale $x$. Par conséquent, il y a un continuum de solutions $\phi_s(x-X)$, $X$ constante arbitraire. En conséquence, si l'on considère les petites fluctuations au premier ordre en $\epsilon$, il existe un mode $\delta \phi =\epsilon d \phi_s /dx$ qui n'a pas de force de rappel, et la forme quadratique des petites fluctuations n'est pas inversible. Le principe de notre méthode est de faire un changement de degrés de liberté de la forme

$$\phi(x,t)=\phi_s(x+X(t))+\eta(x,t), \quad \int dx \> \eta(x,t) \> {\partial \over \partial x} \phi_s(x+X(t))=0.$$

La variable collective $X(t)$ devient dynamique. Comme le champ $\eta(x,t)$ contient un degré de liberté de moins que le champ $\phi$, il satisfait une condition, qui précisément élimine le mode zéro qui faisait obstacle à la théorie des perturbations. En pratique on fait ce changement dans une intégrale fonctionnelle, en tenant compte du Jacobien. Il existe des versions plus sophistiquées, où la condition supplémentaire apparaît comme une condition de jauge, ce qui montre qu'elle est largement arbitraire. Le principe reste toujours le même et a été appliqué dans tous les problèmes de solitons et d'instantons, dans la deuxième moitié des années soixante-dix. Rappelons, à ce sujet que, après l'abandon des théories de cordes en temps que modèle des hadrons, l'intérêt s'est porté temporairement vers les solitons, comme un nouveau moyen d'introduire une structure étendue en théorie locale des champs. Un peu plus tard, les instantons ont montré l'existence d'effets tunnel en théorie locale des champs dont on a cru un moment qu'ils permettaient, entre autres, de comprendre le confinement dans QCD.