1974-75: Vertex de théories de cordes déduits de condition de recollement géométriques des surfaces d'univers.

Références:

``Combining and splitting relativistic strings'', Nucl. Phys. B76 (1974) 209,

``Infinite component field theory of interacting relativistic strings and dual theory'', Nucl. Phys. B90 (1975) 410.

En collaboration avec E. Cremmer, j'ai démontré que le vertex général des cordes bosoniques, qui avait été déterminé antérieurement par développement sur les pôles des amplitudes de diffusion, est simplement donné par des conditions quantiques de recouvrement entre cordes qui se coupent ou se collent, qui sont intuitives du point de vue de la géométrie des surfaces. Tout en établissant le lien entre l'approche opératorielle et l'approche géométrique des cordes, ce travail a été important pour le développement de la théorie des champs de cordes, où de telles conditions de recouvrement ont été prises comme principe de base, ainsi que dans les travaux de Green et Schwarz qui les ont généralisées pour décrire les interactions de supercordes. Ainsi notre travail a été beaucoup cité après 1985.

Goddard, Goldstone, Rebbi et Thorn ont montré comment décrire la corde bosonique par $24$ oscillateurs harmoniques dans un espace-temps à $26$ dimensions, à l'aide de coordonnées du cône de lumière. À partir de là, Mandelstam a développé le formalisme des cordes en interaction en utilisant une approche mi-fonctionnelle mi-opératorielle qui s'appuie sur le dernier article de Sakita et moi-même mentionné au paragraphe 1.1.4. Ainsi, en particulier, il a donné une nouvelle expression du vertex général des cordes bosoniques obtenu antérieurement par Ademollo, Del Guidice et Di Vecchia. C'est la forme de Mandelstam que nous avons déduite de nos conditions de recouvrement, dont l'idée de base est la suivante. Considérons deux cordes qui se collent. Soient $\vec X_r(\eta_r)$ ($r=1,\,2$ pour les cordes initiales et $r=3$ pour la corde finale) les $24$ composantes (transverses) des opérateurs positions au même instant. Les paramètres $\eta_r$ sont les abcisses le long des cordes. Les moments totaux longitudinaux ($p^+_r$) sont conservés ( $p^+_3=p^+_1+p^+_2$). Dans le formalisme du cône de lumière $p^+_r$ est précisément égal à la longueur de la corde $r$. Par conséquent, si l'on prend pour $\eta_r$ l'abcisse géométrique divisée par $p^+_r$, les abcisses se raccorderont naturellement si l'on choisit $0\leq \eta_r \leq \pi$. Nous avons donc introduit les conditions de recouvrement du type⁶

$$\vec X_3(\eta_3)= \vec X_1(\eta_1), \quad \hbox{pour } p^+_3 \eta_3= p^+_1 \eta_1, \quad 0\leq \eta_1 \leq \pi$$

$$\vec X_3(\eta_3)= \vec X_2(\eta_2), \quad \hbox{pour } p^+_3 \eta_3= p^+_1 \pi+ p^+_2 \eta_2, \quad 0\leq \eta_2 \leq \pi.$$

Ces conditions⁷ sont simples dans la base où les opérateurs $\vec X_r(\eta_r)$ sont diagonaux, car elles sont des produits de fonctions $\delta$ de Dirac. Par changement de base dans l'espace de Fock des oscillateurs, nous avons montré qu'elles redonnent exactement l'expression assez complexe obtenue par Mandelstam comme mentionné plus haut. Généralisant cette discussion, nous avons développé un formalisme à multi-cordes du cône de lumière qui était en concurrence avec Kaku et Kikkawa qui poursuivaient les mêmes idées, mais de façon moins précise, car ils ne pouvaient pas déterminer les mesures d'intégration. Nos travaux ont ouvert la voie pour les théories de champs de cordes qui ont été très populaires dans la deuxième moitié des années quatre-vingt.