Invariance modulaire, Supersymétrie d'espace-temps

Références:

``New critical dimensions for string theories'', Nucl. Phys. B284 (1987) 397;

``Modular invariance for closed strings at the new critical dimensions'', Phys. Lett. B187 (1987) 39;

``The five-dimensional open Liouville superstring'' Nucl. Phys. B293 (1987) 1.

Nous avons vérifié toutes les propriétés d'invariance modulaire qui sont nécessaires pour la cohérence de la théorie, aussi bien pour les cordes fermées que pour les cordes ouvertes. De plus, nous avons découvert, pour les modèles de super-Liouville, une projection du type projection GSO, qui donne des théories de supercordes, supersymétriques d'espace-temps. Nous avons établi le formalisme de supercorde correspondant. Une différence essentielle est qu'il n'apparaît pas de particule de spin $2$ et de masse zéro. Dans ces théories, la gravité n'apparaît donc pas dans le régime perturbatif, contrairement aux cordes usuelles. Les particules de masse zéro ont spin 0 ou 1. Ce dernier cas apparaît dans le secteur Ramond-Ramond.

En collaboration avec A. Bilal, j'ai supposé l'existence de la théorie de Liouville dans le régime de couplage fort pour charge centrale $C=7$, $13$ et $19$, dont les évidences viennent d'être rappelées, (pour super-Liouville, Neveu et moi-même avions fait l'hypothèse que l'on devait être dans la même situation pour charges centrales $\hat C =3,\, 5,\, 7$) Nous avons étudié autant que possible les cordes correspondantes. Bien que les fonctions de Green soient encore inconnues à ce jour, le spectre des poids conformes est donné par un prolongement de la formule de Kac, ce qui permet de construire les fonctions de partition. Nos études ont porté sur des théories à $7$ et $13$ dimensions, pour les cordes purement bosoniques, et à $3$ et $5$ dimensions pour les cordes du type de Neveu-Schwarz-Ramond (NSR). Il s'agit dans chaque cas de deux des trois valeurs prédites à partir des nombres indiqués plus haut par l'annulation de la charge centrale totale (incluant les fantômes). Les quatre modèles considérés sont tels que, dans les diagrammes à une boucle de cordes ouvertes, les singularités associées aux cordes fermées sont des pôles comme cela se doit par unitarité (covariance modulaire du couplage cordes ouvertes cordes fermées). À ce sujet, il faut rappeler que c'est précisément cette condition qui a conduit Lovelace à la découverte de la dimension critique $26$ au début du développement de la théorie des cordes. Pour les cordes du type NSR, nous avons de plus prouvé que les fonctions de partition des secteurs de Neveu-Schwarz et Ramond coïncident exactement après une projection analogue à celle de Gliozzi, Scherk et Olive¹³. Ces nouvelles théories sont donc apparues comme devant être supersymétriques d'espace-temps, ce que nous avons prouvé par la suite, en construisant un formalisme de super-cordes du cône de lumière à la Green et Schwarz. En théorie usuelle, ce dernier est basé sur les propriétés particulières du groupe $O(8)$ et de l'algèbre de Dirac associée. Mathématiquement, cette structure reflète l'existence des octonions, algèbre de division qui joue un rôle de base dans la structure de super-champs de Green et Schwarz. Notre construction montre que les nouvelles théories de supercordes obtenues correspondent aux deux autres algèbres de division non triviales: celle des quaternions et celle des nombres complexes. Elles forment donc un ensemble très naturel avec la supercorde de Green et Schwarz. Pour le modèle à $5$ dimensions, la construction des générateurs de supersymétrie nous a conduit à la découverte de deux supersymétries $N=4$.

En ce qui concerne le secteur des cordes fermées, la solution de la dynamique de Liouville elle-même présente des difficultés particulières qui ont fait que Neveu et moi-même avions surtout étudié les cordes ouvertes¹⁴. Bilal et moi-même avons donc determiné le spectre des (super) cordes fermées, en construisant des fonctions de partition invariantes modulaires basées sur deux copies du spectre des cordes ouvertes, un pour chaque chiralité, avec des modes zéro reliés entre eux. Comme l'invariance modulaire force à admettre des valeurs différentes, le nombre d'enroulements n'est pas toujours nul et les configurations correspondantes de Liouville ne sont pas périodiques, contrairement à ce qui avait été supposé antérieurement. Ceci explique les difficultés de la solution de Liouville sans bord, car il faut inclure la possibilité de métriques singulières.