Théories de Toda, Extensions non linéaires de l'algèbre de Virasoro

Références:

``Systematic approach to conformal systems with extended

Virasoro symmetries'', Phys. Lett. B206 (1988) 412;

``Extended $C=\infty$ conformal systems from classical Toda field theories'', Nucl. Phys. B314 (1989) 646;

``Systematic construction of conformal theories with higher spin Virasoro symmetries'', Nucl. Phys. B318 (1989) 579.

En collaboration avec A. Bilal, j'ai étendu aux théories de Toda les techniques de base développées pour la théorie de Liouville. Nous avons établi que, classiquement, le théorème de Noether donne des générateurs de symétrie, engendrant une algèbre fermée par crochets de Poisson qui est non-linéaire, et contient l'algèbre de Virasoro, comme sous-algèbre linéaire (c'est donc une algèbre W). Dans le cas le plus simple, on obtient la limite classique de l' algèbre originalement introduite par Zamolodchikov¹⁷. Pour le cas quantique, nous avons étudié en détail la famille la plus simple¹⁸ et montré que la résolution quantique de la théorie de Liouville s'étend, au prix de complications techniques (il y a une nouveauté du point de vue groupe quantique sur laquelle nous reviendrons). Depuis nos travaux, le domaine des symétries W a connu une intense activité et nos articles ont été souvent cités. En particulier, de nombreux chercheurs ont tenté de comprendre la géométrie des gravités-W dont les actions devraient se réduire à celles de Toda que nous avons considérées, si l'on se place dans une jauge conforme généralisée. Un progrès important dans cette direction a été réalisé en reliant ces théories de Toda à des modèles de Wess, Zumino, Novikov, Witten (O' Raifeartaigh et collaborateurs). En collaboration avec Y. Matsuo, j'ai déduit la dynamique de Toda de la géométrie de surfaces holomorphes dans des espaces de Kähler (v. plus loin). D'autre part, l'équation differentielle chirale équivalente aux équations classiques des théories de Toda apparaît naturellement dans la résolution des modèles de matrices car elle est reliée aux sytèmes de KdV généralisés (KP).

La classification des algèbres de Toda associées aux algèbres de Lie semi-simples repose sur le fait, qu'il en existe une pour chaque graduation de l'algèbre considérée. Avec Bilal, j'ai seulement étudié le cas de ce qu'on appelle la graduation principale. Nous avons établi une méthode générale pour construire des théories invariantes conformes à deux dimensions. Elle est basée sur la quantification des théories de Toda associées aux algèbres de Lie semi-simples. Pour chacune de ces dernières, on obtient une classe de théories conformes ayant une symétrie W, sauf pour le cas de l'algèbre de Lie $A_1=SU(2)$ qui redonne la théorie de Liouville. La méthode suivie est analogue à celle que j'ai employée avec Neveu pour cette dernière: on part de la théorie classique de Toda qui est la limite d'une théorie conforme quantique pour une charge centrale infinie. Nous avons tout d'abord trouvé une forme très simple de la solution classique générale qui nous a permis de séparer les modes et d'obtenir les représentations de toutes les algèbres W par des crochets de Poisson associés aux crochets canoniques. Les générateurs de cette symétrie apparaissent comme potentiels généralisés dans les équations differentielles à une variable, satisfaites par les composantes holomorphes des solutions classiques. Ainsi la relation, maintenant bien connue, entre algèbre W et opérateurs différentiels est une conséquence de la dynamique. Dans un deuxième stade nous avons quantifié les théories de Toda en préservant l'invariance W. Ceci donne: des réalisations opératorielles des algèbres W; les familles de base d'opérateurs primaires holomorphes (champs du type $V$); les équations différentielles opératorielles satisfaites par ces champs primaires et les équations différentielles pour leurs fonctions de Green; le schéma qui généralise celui du gaz de Coulomb; une réduction des fonctions à deux points à des fonctions hypergéométriques; la solution associée des équations de Yang et Baxter et les propriétés d'échange des opérateurs holomorphes que nous avons construits.