La structure de groupe quantique $U_q(sl(2))$

Références:

``The quantum group structure of 2-D gravity and minimal models I'', Commun. Math. Phys. 130 (1990) 257;

``Solving the strongly coupled 2D gravity: 1. Unitary truncation and quantum group structure'', Commun. in Math. Phys. 138 (1991) 301;

La notion de groupe quantique est venue de l'étude des théories conformes et des théories complètement intégrables bidimensionnelles. En particulier Neveu et moi-même avons écrit une algèbre d'échange associée à la déformation dite quantique de $sl(2)$ (notée $U_q(sl(2))$) déjà en 1983 comme indiqué page . Nos formules n'avaient pas la forme de celles qui ont été écrites par la suite (en particulier par Drinfeld) et qui sont maintenant bien connues, car elles utilisent une base différente d'opérateurs. Cela a été d'abord montré par Babelon pour le multiplet de spin $1/2$ qui est le plus simple. En général, il apparaît que le concept de groupe quantique est tout à fait fondamental dans le problème; il permet de surmonter bien des difficultés sur lesquelles Neveu et moi-même avions buté antérieurement. C'est pourquoi j'ai poursuivi un programme d'étude systématique pendant plusieurs années avec l'aide d'un groupe de chercheurs. La pierre d'achoppement de mes recherches avec Neveu était que nous avions besoin, pour poursuivre, de formules générales valables pour n'importe quel opérateur de la famille conforme, alors que nous n'étions capables, à l'époque, que de traiter les opérateurs les plus simples. Nos formules, prises telles quelles, semblaient trop compliquées pour être généralisées. Le besoin de formules générales se faisait impérieusement sentir pour deux raisons. D'une part, la définition de puissances $\underline{\smash{\hbox{positives}}}$ de la métrique 2D demande que l'on continue en principe¹⁹les formules pour des nombres $\underline{\smash{\hbox{n\'egatifs}}}$ d'opérateurs d'écran, c'est à dire, par exemple, pour des ``nombres négatifs'' de variables d'intégration dans les représentations intégrales (spins négatifs pour le groupe quantique). D'autre part, l'existence des valeurs spéciales pour le couplage fort ne peut être complètement établie que si l'on peut traiter le cas général. Tous ces problèmes sont maintenant en partie résolus, comme nous allons le voir.

Ce qui rend l'aspect groupe quantique très intéressant est que, pour la théorie de Liouville, le paramètre mathématique de la déformation du groupe $sl(2)$ est trouvé proportionnel à la constante de Planck. Ceci veut dire que la non-commutativité qui est induite par la déformation mathématique coïncide avec la non-commutativité due aux éffets quantiques. D'après les travaux de Manin, il existe une action naturelle du groupe quantique considéré dans un plan quantique dont les coordonnées ne commutent pas. Physiquement, il est très naturel qu'une telle structure apparaisse en gravité puisque la quantification du tenseur métrique de la théorie d'Einstein revient effectivement à quantifier l'espace-temps. Ainsi le groupe quantique devrait ouvrir la voie à la compréhension ultime du problème en terme de géométrie non commutative.

Dans ces articles, j'ai établi en toute généralité l'existence d'une famille d'opérateurs dont l'algèbre de tresse est donnée par la matrice R universelle, et étudié leur fusion à l'ordre dominant. Les idées de base sont les suivantes. Dans mes travaux avec A. Neveu, il nous semblait naturel de diagonaliser la matrice de monodromie de l'équation différentielle (correspondant aux identités de Ward associées au tenseur énergie-implusion dans le langage de BPZ) rappelée au paragraphe B3.3. Les opérateurs holomorphes obtenus (désignés par la lettre $V$), sont précisément équivalents à ceux introduits par Moore et Seiberg dans leur schéma général. Cependant, dans cette base d'opérateurs, les coefficients de la matrice R correspondante ne sont pas des c-nombres. C'est pourquoi les relations de Yang-Baxter associées prennent une forme différente de celle du groupe quantique. La connexion s'établit par un changement de base introduisant des opérateurs holomorphes (notés $\xi$) tels que la nouvelle matrice R devient une matrice de nombres purs. Elle coïncide alors avec la matrice R universelle de $U_q(sl(2))$. Ceci généralise la transformation introduite par Babelon pour le cas particulier $J=1/2$ et montre comment faire agir le groupe quantique de façon à laisser invariante l'algèbre d'opérateurs.