Séparation des modes, algèbre de tresse, localité

Références:

``The dual string spectrum in Polyakov quantization. I.'' Nucl.Phys. B199 (1982) 59.

``The dual string spectrum in Polyakov quantization II'', Mode separation'', Nucl. Phys. B 209 (1982) 125;

``New quantum treatment of Liouville field theory'', Nucl. Phys. B224 (1983) 329;

``Novel triangle relation and absence of tachyons in Liouville string field theory'', Nucl. Phys. B238 (1984) 125.

En séparant les modes de Liouville, nous avons obtenu des oscillateurs harmoniques que nous avons quantifiés de la façon usuelle. Ceci nous a permis d'établir l'algèbre de tresse satisfaite par les composantes holomorphes les plus simples de la métrique notées $\psi_i(\sigma)$, où $\sigma$ est une coordonnée sur le cercle unité et $i=1,2$ est un indice relié à la charge d'écran. Nous l'avons écrit sous la forme

$$\psi_i(\sigma)\psi_j(\sigma')=\sum_{ k \ell} S_{ij}^{k\ell} \> \psi_k(\sigma') \psi_\ell(\sigma)$$

et mis en évidence le fait que la matrice de tresse $S_{ij}^{k\ell}$ donne une solution de l'équation de Yang-Baxter qui était entièrement nouvelle à l'époque. Ce qui était nouveau, en pratique, c'était que les champs $\psi$ ne commutent pas avec la matrice $S_{ij}^{k\ell}$ car celle-ci dépend du mode zéro de Liouville. Dans une dernière partie du dernier article cité plus haut, nous avons montré que la localité du champ de Liouville est une conséquence de cette algèbre de tresse. Ce type de résultat a été redécouvert et généralisé dans un grand nombre d'articles postérieurs. De plus, il a été montré plus tard (nous y reviendrons) que notre algèbre de tresse est équivalente à celle du groupe quantique $U_q(sl(2))$, introduit bien après, et que nous avions découvert sans le savoir.

Pour une théorie conforme, l'intégrabilité complète, c'est à dire la séparabilité des modes veut dire que les champs sont décomposables en sommes de produits de fonctions holomorphes et antiholomorphes. Par conséquent elle est implicitement supposée dans le formalisme de BPZ. Dans les deux premiers articles cités nous avons effectué cette séparation au niveau classique pour les surfaces à bords¹⁰. Nous avons, de plus, montré que si l'on introduit les champs $p_i(\sigma)=d \ln \psi_i(\sigma)/ d\sigma$, les crochets de Poisson canoniques de la théorie de Liouville sont tels que celui de $p_i(\sigma)$ avec $p_i(\sigma')$ coincide avec l'expression habituelle pour un champ libre. Dans la quantification, il est naturel de remplacer ce crochet de Poisson par un commutateur, comme nous l'avons proposé. Il faut ensuite reconstruire les champs physiques en terme de ces oscillateurs.