Les spins non demi-entiers

Références:

``The braiding of chiral vertex operators with continuous spins in 2D gravity'', Phys. Lett. B 315 (1993) 258.

``Continuous spins in 2D gravity: Chiral vertex operators and local fields'', Nucl. Phys. B431 (1994) 273.

``On the Liouville coupling constants'', Phys. Lett. B 376 (1996) 65

Dans le premier article, la matrice d'échange, des champs chiraux de type $V$ avec des spins non demi-entiers est explicitement déduite en utilisant des réalisations en termes de champs libres du type gaz de Coulomb. Le résultat est donné par une généralisation des symboles 6j qui coïncide avec les polynômes les plus généraux dits d'Ashkey Wilson. Dans le second, cette construction est étendue au cas des deux charges d'écran. Elle est utilisée pour construire les exponentielles du champ de Liouville avec des exposants continus, ce qui permet, par dérivation, d'obtenir le champ lui-même et de vérifier les équations du mouvement.

Ce travail, effectué en collaboration avec J. Schnittger, généralise les études décrites au paragraphe 1.3.2. Il renforce de plus les conclusions résumées au paragraphe 1.3.9 ci-dessous. Du point de vue théorie des groupes, nous avons utilisé des représentations semi-infinies à plus bas, ou plus haut, poids où les nombres d'opérateurs d'écran restent des entiers non négatifs par construction. Pour le cas des deux charges d'écran, la matrice d'échange est en accord avec celle obtenue dans le travail parallèle avec J.-F. Roussel (ci-dessous) qui montre que, si l'on note $q$ et $\widehat q$ les paramètres associés aux deux charges d'écran, la structure complète de groupe notée $U_q(sl(2)) \odot U_{\widehat q}(sl(2))$ est une combinaison non triviale de $U_q(sl(2))$ et de $U_{\widehat q}(sl(2))$.

Dans notre détermination rappelée plus loin qui est basée sur le `` Bootstrap '' conforme, les fonctions à trois points sont naturellement obtenues comme des produits, analogues à des produits de Wilson sur un réseau bidimensionnel, indépendants du chemin suivi sur ce réseau. Les deux nombres d'écran donnent les différences de coordonnées entre points de départ et d'arrivée. Ainsi on associe à ces constantes de couplage une pure jauge discrète bidimensionnelle. Dans le troisième article j'ai montré que la ``fonction de jauge'' correspondante coïncide avec la fonction $\Upsilon$ introduite par Otto et Weight, récemment reprise par Zamolodchikov et Zamolodchikov (OWZZ).

Dans mes travaux précédents, les fonctions à trois points avaient été déterminées en toute généralité pour des spins arbitraires, pourvu que les nombres d'écran des deux types soient des entiers positifs. Ainsi j'ai pu établir que la formule proposée par OWZZ pour l'extrapolation de la fonction à trois points à des nombres d'écran non entiers, est bien la généralisation naturelle des formules que j'avais obtenues antérieurement avec mes collaborateurs.