Gravité quantique en couplage fort: spins fractionnaires

``Solving the strongly coupled 2D gravity: 2. Fractional spin operators and topological three point functions'', Nucl. Phys. B426 (1994) 140.

La motivation de ce travail, en collaboration avec J.-F. Roussel, a été de complèter mon étude précédente du couplage fort (voir page ) qui ne discutait que le cas de spins demi-entiers (en utilisant les opérateurs chiraux du type $\xi$ seuls bien connus à l'époque). Ceci est insuffisant pour terminer la discussion car les poids conformes de l'espace ${\cal H}_{phys.}$, où le théorème de découplage unitaire est vérifié, correspondent à des spins rationnels mais pas forcément entiers. Si l'on veut préserver la symétrie entre opérateurs et états de l'espace d'Hilbert, il faut donc traiter le cas d'opérateurs avec spins rationnels, ce qui est aussi compliqué que celui des spins continus. Ceci fait, nous avons pu généraliser le théorème de troncation de façon à rétablir complètement la symétrie entre spectre de vecteurs de plus haut poids des modules de Verma et spectre de poids conformes des opérateurs primaires.

Notre méthode a été d'étendre le bootstrap chiral (solutions des équations polynomiales de Moore et Seiberg) obtenu précédemment en collaboration avec E. Cremmer, au cas des représentations semi-infinies à spin continu avec nombres d'écran entiers non négatifs; ce qui détermine complètement les matrices de fusion et échange. En particulier nous avons vérifié que nos 6j généralisés satisfont bien les identités du type Racah et Bidenharn-Elliot. Nous avons démontré le découplage de deux familles d'opérateurs physiques chiraux, aux valeurs spéciales de la charges centrales, en obtenant une solution complète des équations de Moore Seiberg sous-jacentes. La généralisation peut se concevoir le mieux en termes du nombre d'identités triangulaires imposées aux vertex, qui est de trois dans le cas habituel (appelé cas 3PI) et que nous avons pu réduire de façon cohérente soit à deux (2PI) soit à un (1PI).

Pour les valeurs spéciales qui peuvent se mettre sous la forme, $C=1+6(s+2),\quad s=0,\pm 1$, il y a deux espaces physiques possibles qui sont donnés par

$${\cal H}_{s,\, phys}^{\pm}\equiv \bigoplus_{r=0}^{1\mp s} \bigoplus_{n=-\infty}^\infty {\cal H}^\pm_{r/2(2\mp s)+n/2}$$

où ${\cal H}^\pm_{J}$ est le module de Verma avec vecteur de plus haut poids du type $(\mp(2J+1)-1, 2J)$ dans la classification de BPZ. Les opérateurs physiques $\chi^{(J)}_\pm$ sont définis dans les articles ci-dessus pour le même spectre de poids conformes, c'est à dire, $2J$ arbitraire de la forme $r/(2\pm s)+n$ où $r=0$, $\cdots$, $1\pm s$, et $n$ est entier. Soit ${\cal A}^\pm_{s,\, phys}$ l'ensemble des opérateurs physiques. Les opérateurs de ${\cal A}^+_{s,\, phys}$ et ${\cal A}^-_{s,\, phys}$ ont des poids conformes réels, respectivement positifs et négatifs. Nous les avons construits de telle sorte qu'ils satisfont les théorèmes suivants

Il faut noter que, par rapport à mon étude précédente, nous n'avons pas seulement considéré²⁵un espace d'Hilbert à poids conforme positif où la représentation de l'algèbre de Virasoro est unitaire. L'autre cas (poids conforme négatifs) est utile pour les théories topologiques que nous discutons ci-après.