Géométries W et plongement de surfaces holomorphes

Références:

``W-geometries'' Phys. Lett. B274 (1992) 309;

``Classical $A_n$-W-geometry'', Comm. Math. Phys. 152 (1993) 317.

``Light-cone parametrizations for Kähler manifolds'', Phys. Lett. B 312 (1993) 285.

Un problème crucial, déjà mentionné plus haut, est d'étendre aux symétries W la relation bien connue entre algèbre de Virasoro et gravité bidimensionnelle. Le but ultime est l'obtention du lagrangien de la gravité W qui généralise la gravité bidimensionnelle, de telle sorte que l'on puisse véritablement étendre le schéma des théories conformes 2D couplées à la gravité. En particulier, il faudrait comprendre la relation entre le traitement du cône de lumière de Polyakov et celui de la jauge conforme au delà de $SU_2$. Clairement, le premier pas dans cette direction est d'obtenir une interprétation géométrique des théories à symétrie W qui corresponde à celle de Liouville où le champ est interprété, comme une composante de la métrique bidimensionnelle. En collaboration avec Yutaka Matsuo, j'ai fait un progrès significatif dans cette direction en montrant que les symétries W correspondent à la géométrie de surfaces holomorphes plongées dans des espaces de Kähler, que nous avons donc appelées surfaces W. Nous avons étudié en détail le cas des algèbres W associés à $A_n$. Le point essentiel de notre travail est de considérer, soit la géométrie extérieure des surfaces, soit celles des plans osculateurs qui définissent des surfaces dans les variétés Grassmanniennes. Par ailleurs, nous avons établi une connexion entre surfaces W et instantons bidimensionnels. Les nombres topologiques correspondants donnent la généralisation du théorème de Gauss-Bonnet qui classifie globalement les surfaces W. Ces relations devraient jouer un rôle important. Par exemple, dans la sommation sur les surfaces W discrétisées, elles devraient déterminer les doubles limites d'échelles conduisant à des théories critiques à symétries W.

Tout d'abord, nous avons considéré la géométrie extérieure de ces surfaces, c'est à dire les équations de Gauss-Codazzi, dans l'espace complexe projectif $CP^n$. Aux points réguliers, des équations de Frenet-Serret généralisées ont été écrites qui redonnent les équations de Toda associées à l'algèbre $A_n$, ainsi que celles des modèles de WZNW conformément réduits qui généralisent ces dernières. Les équations de Drinfeld-Sokolov sont aussi obtenues et l'on aboutit à une interprétation géométrique complète.

Par ailleurs, il a été montré que les temps supplémentaires des hiérarchies de KP donnent une paramétrisation de $CP^n$, avec une description fermionique (fonctions ``tau''), qui est telle que les transformations de la symétrie W peuvent être étendues hors de la surface comme des difféomorphismes particuliers de $CP^n$. Ceci donne leur signification géométrique et conduit à des généralisations des équations de WZNW et de Drinfeld-Sokolov, qui ont été reliées aux équations de Zakharov-Shabat.

Par ailleurs, les points singuliers ont été discutés à partir des géométries intrinsèques des surfaces plongées dans les Grassmanniénnes, qui sont associées à une surface W donnée dans $CP^n$. Nous avons montré que ces surfaces sont des instantons et avons introduit la serie des nombres d'instantons obtenus par intégrales bidimensionnelles topologiques sur les champs de Toda. Des formules de Plücker globales ont été démontrées en combinant le théorème de Gauss Bonnet, écrit pour chaque surface associée, avec les équations de Toda. Ceci montre, en particulier, comment généraliser la constante cosmologique de la gravité bidimensionnelle. Pour le cas de $A_n$, elle est remplacée par les $n$ nombres topologiques que nous avons introduits.

La gravité W telle que nous l'avons considérée, c'est-à-dire par la théorie de Toda devrait être reliée par une sorte de transformation de jauge à l'approche cône-de-lumière de Polyakov. Avec cette motivation, nous avons montré, dans le dernier article, que toute métrique de Kähler peut être transformée par changement de coordonnées, en une métrique qui, par bloc, a la forme proposée par Polyakov pour la gravité bidimensionnelle ordinaire dans les variables du cône de lumière.