Les théories de Toda

Ces théories sont extrêmement intéressantes à plus d'un titre. Pour introduire ce qui va suivre il est utile de revenir sur leur principe de base élégamment formulé par Lesnov et Saveliev et qui est très simple. Soient $z_\pm$ des coordonnées complexes ($z_-$ est le complexe conjugué de $z_+$), ${\cal G}$ une algèbre de Lie simple et $A_{\pm}(z_+,\, z_-)$ un champ de jauge à valeur dans ${\cal G}$. La paire de Lax est obtenue en imposant tout d'abord qu'il soit une pure jauge:

$$\partial_{z_-}A_+-\partial_{z_+}A_-+ \Bigl [A_+,\, A_-\Bigr ]=0.$$

Choisissons (il en existe toujours) une graduation de ${\cal G}$, c'est à dire une décomposition de la forme ${\cal G}=\oplus_m {\cal G}_m$ où $m$ prend des valeurs entières et telle que le commutateur d'un élément de ${\cal G}_p$ avec un élément de ${\cal G}_q$ soit dans ${\cal G}_{p+q}$. Les équations de Toda considérées habituellement sont caractérisées par le fait que l'on choisit de plus $A_\pm \in {\cal G}_0\oplus {\cal G}_{\pm 1}$. Elles sont donc déterminées par le choix de ${\cal G}$ et par le choix de la graduation. Lorsque cette graduation est celle qui est appelée principale on l'appelle la théorie de Toda associée à ${\cal G}$. C'est de ce type dont nous avons parlé jusqu'à présent et que nous considérerons de nouveau plus loin aux paragraphes 1.4.1-1.4.4. Un autre choix de graduation, avec la même condition sur $A_\pm$ est considéré au paragraphe 1.4.5. Clairement la composante ${\cal G}_0$ est une sous-algèbre de ${\cal G}$. Comme le choix de 1.4.5 donne un ${\cal G}_0$ non abélien, ces théories sont distinguées par le même qualificatif. Finalement pour un choix de graduation donné ont peut prendre $A_\pm \in \oplus_{r=0}^N {\cal G}_{\pm r}$, $N >1$. Ce cas appelé ``généralisation de plus haute graduation'' est le sujet des deux derniers paragraphes.

Rappelons, de plus, qu'il existe deux grandes catégories de théories de Toda : soit ${\cal G}$ est une algèbre de Lie simple de dimension finie, auquel cas la théorie est invariante conforme, soit ${\cal G}$ est une algèbre de Lie affine. Dans ce dernier cas on a une théorie de particules relativistes massives. Dans ce rapport, il s'agit toujours du premier cas, sauf dans le dernier paragraphe.