1968-69: Calcul des diagrammes à boucles en théories de cordes

Référence:

``On the building of dual diagrams from unitarity'', Lett. Nuovo Cimento 2 (1969) 399.

En collaboration avec D. Amati et C. Bouchiat, j'ai proposé une méthode très simple pour calculer les diagrammes à boucles de cordes dans le formalisme des oscillateurs. Cette technique, qui utilise les états cohérents des modes de vibration de la corde, est devenue un outil de base par la suite.

Tout au début de la théorie des cordes, Fubini, Gordon et Veneziano ont introduit un formalisme d'oscillateurs harmoniques permettant de factoriser de façon compacte les diagrammes en arbres dont des représentations intégrales venaient d'être obtenues (formules dites de multi-Veneziano). Ces oscillateurs harmoniques, qui représentent les modes de vibrations de la corde, sont décrits par des opérateurs de la forme $a_n^\mu$ où $\mu$ est un indice d'espace-temps, et où $n$ est un entier. Ils obéissent aux règles de commutations $\bigl [ a_n^\mu, \, a_m^\nu \bigr ] =n \delta_{m,\, -n} \eta^{\mu \, \nu},$ où $\eta^{\mu \, \nu}$ est la métrique de l'espace-temps, et qui sont telles que le cas $n>0$ ($n<0$) correspond à des opérateurs d'annihilation (de création)³.

Par ailleurs, se posait la question de l'unitarisation de la théorie par calcul des diagrammes à boucles. Kikkawa, Sakita et Virasoro avaient donné des règles de Feynman généralisées pour ce faire, mais qui restaient largement empiriques. Le problème pratique du calcul des boucles venait de la sommation sur les états intermédiaires, car l'unitarisation demande la sommation sur tous les types de particules décrites par la corde. Ils sont en nombre infini, les masses étant essentiellement données par les valeurs propres de l'opérateur $M^2=\sum_\mu \sum_{n>0} a_{-n}^\mu a_{n\, \mu}$. Avant notre étude, il semblait naturel de traiter chaque particule séparément en diagonalisant cet opérateur de masse. Ceci conduit à travailler dans la base des nombres d'occupation des oscillateurs, mais alors le calcul des boucles est très compliqué. Nous avons montré qu'il est au contraire très intéressant d'utiliser la base des états cohérents, car les calculs deviennent beaucoup plus simples. Cette méthode a été suivie dans toutes les études postérieures.