Équation différentielle, Gaz de Coulomb

Références:

``Novel triangle relation and absence of tachyons in Liouville string field theory'', Nucl. Phys. B238 (1984) 125;

``Green functions and scattering amplitudes in Liouville string field theory. I'', Nucl. Phys. B238 (1984) 396;

``Nonstandard 2-D critical statistical models from Liouville theory'', Nucl. Phys. B257 (1985) 59.

Inspirés par la paire de Lax classique de la théorie de Liouville, nous avons montré que les opérateurs quantiques $\psi_i(\sigma)$ satisfont une équation différentielle du type équation de Schrödinger, à coefficients opératoriels. Ceci est une démonstration indépendante des identités de Ward obtenues par BPZ en supposant que l'état nul de Virasoro au deuxième niveau se découple. Nous avons de plus introduit la fameuse représentation intégrale pour les solutions, qui est maintenant connue sous le nom de gaz de Coulomb, d'après les travaux de BPZ.

Au niveau classique, nous avions montré que les $\psi_i$ satisfont une équation de Schrödinger où le potentiel $T$ est la composante holomorphe du tenseur énergie-impulsion. Il est bien connu que, comme $\psi_1$ est une solution, une deuxième solution est obtenue par quadrature en écrivant $\psi_2(\sigma)=\psi_1(\sigma) \int ^{\sigma} d\sigma' \bigl [\psi_1(\sigma')\bigr ]^{-2}$. Donc $\psi_1^{-2}$ apparaît naturellement comme le champ classique d'écran. Cette structure s'étend au niveau quantique sans problème. Après l'introduction des champs $p_i(\sigma)=d \ln \psi_i(\sigma)/ d\sigma$, on obtient l'équation de Riccati associée

$$T=:p_1^2:+dp_1/d\sigma=:p_2^2:+dp_2/d\sigma$$

qui coïncide¹¹ avec l'expression des générateurs de l'algèbre de Virasoro avec une charge de fond, qui est maintenant standard.