Gravité quantique en couplage fort: modèles topologiques

``Solving the strongly coupled 2D gravity: 2. Fractional spin operators and topological three point functions'', Nucl. Phys. B426 (1994) 140.

``From weak to strong coupling in two-dimensional gravity'', Phys. Lett. B 338 (1994) 437.

Les théorèmes de troncation permettent en principe de construire de véritables théories de cordes (dans des espace-temps à dimensions entières) dont j'ai montré certaines propriétés remarquables avec A. Bilal (v. paragraphe 1.2.4). Cependant ces théories restent pour l'instant mathématiquement trop compliquées pour que l'on soit parvenu à en construire les amplitudes de diffusion de façon tant soit peu explicite. Pour tourner cette difficulté, nous avons proposé d'étudier des modèles d'un type topologique, utilisant une construction semblable à celle qui redonne le modèle des matrices en couplage faible, rappelée au paragraphe 1.3.7. En utilisant notre généralisation des constantes de couplages, Il a été possible de déterminer les fonctions à trois points qui sont elles aussi un produit de facteurs de jambe. A partir de là, et généralisant un argument de Di Francesco et Kutasov, nous avons été capables de calculer les fonctions jusqu'à six points. Par conséquent, ces nouveaux modèles sont véritablement les continuations des modèles de matrice dans le régime de couplage fort.

L'idée de base, semblable à ce que j'avais fait pour retrouver le modèle des matrices est de prendre deux copies indépendantes de la gravité fortement couplée. En effet, il est immédiat de voir qu'un habillage gravitationnel correct peut être obtenu en considérant des opérateurs du type ${\cal A}^+_{s,\, phys}\otimes {\cal A'{}}^-_{ -s,\, phys}$, (les familles ${\cal A}^+_{s,\, phys}$ et ${\cal A'{}}^-_{ -s,\, phys}$ commutant l'une avec l'autre) agissant dans l'espace ${\cal H}^+_{s,\, phys}\otimes {\cal H}'{}^-_{ -s,\, phys}$. Le choix de valeurs opposées pour $s$ assure la balance correcte des charges centrales. Par analogie avec les cordes de Liouville où ${\cal A}^+_{s,\, phys}$ donne la partie gravité bidimensionnelle du vertex des cordes, on doit considérer que ${\cal A}^+_{s,\, phys}$ et ${\cal A'{}}^-_{ -s,\, phys}$ décrivent respectivement la gravité et la matière de nos modèles topologiques. La fonction à trois points est donnée par le produit des constantes de couplages de chaque théorie. En utilisant les expressions explicites que nous avons obtenues pour les spins continus, nous avons montré que des simplifications remarquables ont lieu, comme c'était le cas pour le couplage faible, si bien que le résultat est un produit de facteurs de jambe.

Les fonctions à plus de trois points sont déterminées à partir de là par récurrence. En effet, par définition la dérivée de la fonction à $N$ points par rapport à la constante cosmologique donne une fonction à $N+1$ point où le vertex supplémentaire est le terme cosmologique. Admettant l'existence d'un développement en diagrammes avec des vertex à nombre arbitraire de jambes, on voit que cette relation entre fonctions à $N$ et $N+1$ points détermine tous ces vertex. En utilisant Mathematica, nous avons pu aller jusqu'au vertex à six jambes. Chemin faisant, on vérifie des tests de cohérence avec la diagrammatique qui sont tout à fait remarquables. En général, ces nouveaux modèles topologiques ont une structure très intéressante dont la compréhension devrait nous éclairer sur la physique de la gravité bidimensionnelle fortement couplée.