Groupes quantiques associés aux algèbres W

Référence:

``The quantum group structure associated with nonlinearly extended Virasoro algebras'', Commun. Math. Phys. 134 (1990) 619.

En collaboration avec E. Cremmer, j'ai établi le passage entre les champs du type $V$ que j'avais définis avec Bilal et des champs du type $\xi$, analogues à ceux de Liouville. Ainsi, nous avons déterminé la structure de groupe quantique associée (avec graduation principale) aux algèbres de Lie $A_N$, $N >1$. Ceci nous a conduits à une nouvelle structure de groupe quantique pour chaque algèbre de Lie $A_N$ ($N >1$). Ces nouveaux groupes quantiques sont, par construction, à la base des théories invariantes conformes ayant une symétrie W, ainsi que des cordes W. Nos travaux ont eu un retentissement certain aussi bien en Physique Théorique qu'en Mathématiques.

Nous sommes partis de la matrice R que j'avais obtenue avec A. Bilal (v. page ) par quantification des théories de Toda et avons cherché, suivant la même démarche que pour Liouville (v. paragraphe 1.3.1), une transformation qui donne une matrice R purement numérique. Le problème a été beaucoup plus difficile à résoudre, même pour les représentations de dimensions les plus petites, seuls cas que nous ayons considérés. En effet les matrices R connues (introduites par Drinfeld) ne peuvent être obtenues par changement de base, comme on peut le voir facilement. Lorsque nous sommes finalement arrivés à une transformation satisfaisante, nous avons obtenu des solutions entièrement nouvelles des équations de Yang-Baxter. Ceci a été une surprise au moment de l'achèvement de notre travail car on croyait alors que la déformation de Drinfeld est unique. Par la suite trois mathématiciens, M. Gerstenhaber, A. Giaquinto et S. Schack, ont étudié sytématiquement les déformations infinitésimales possibles. Notre groupe quantique correspond à un cas très particulier dont la structure est intéressante. Le rôle précis qu'il joue dans les théories de Toda reste cependant à élucider.